2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课后导练基础达标1.已知a=（3，-1），b=（1，-2），则a与b的夹角为（）A.B.C.D.解析:∵a·b=5，|a|=，|b|=，cosθ=,∴θ=.答案:B2.设m、n是两个非零向量，且m=（x1,y1),n=(x2,y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数有()①m·n=0②x1x2=-y1y2③|m+n|=|m-n|④|m+n|=A.1B.2C.3D.4解析:对③④两边平方，化简得m·n=0m⊥n.答案:D3.已知点A（1，0）、B（5，-2）、C（8，4）、D（4，6），则四边形ABCD为（）A.正方形B.菱形C.梯形D.矩形解析:可以用坐标验证=且⊥，故ABCD为矩形.答案:D4.已知a=(2m-1,3-m),若|a|≤，则m的取值范围为（）A.［0，2］B.［0，4］C.（0，2］D.（0，4］解析:|a|2=（2m-1）2+（3-m）2≤10m∈［0，2］.答案:A5.(2006江苏南京高三一模,3)若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量,则直线x+2y+3=0的一个法向量为()A.(1,2)B.(1,-2)C.(2,1)D.(2,-1)解析:可以确定已知直线的斜率k=-,∴直线的方向向量a=(1,-).由a·n=0,可知应选A.答案:A6.已知平面上直线l的方向向量e=(),点O（0,0)和A（1，-2）在l上的投影分别是O′和A′，则=λe，其中λ等于（）A.B.C.2D.-2解析:令e的起点是原点，与e方向相反，排除A、C，设e与夹角为θ.∵=（1，-2），则||=，∴cosθ=.∴在e上的射影||·cosθ==-2.∴λ=-2.答案:D7.已知向量a=（1，1），b=（2，-3）.若ka-2b与a垂直，则k=___________.解析:∵ka-2b=(k-4,k+6),又(ka-2b)·a=0,∴(k-4)·1+（k+6)·1=0.∴k=-1.答案:-18.已知点A（1，-2），若与a=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为_______.解析:设A（xa,ya),B(xb,yb).∵与a同向，∴可设=λa=（2λ,3λ)(λ＞0).∵||=.∴λ=2.则=(xb-xa，yb-ya)=(4,6).∴B(5,4).答案:(5,4)综合运用9.以原点O和点A（5，2）为两顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标.解:设B（x，y),则=（x,y),AB=(x-5,y-2).∵△ABO是等腰直角三角形，故⊥，且||=||,∴,解得.∴=（，）或=(,-).10.已知a=（，-1），b=（，）且存在k，t∈R,使得x=a+（t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y.试求的最小值.解:由题意有|a|=2，|b|=1，∵a·b=×-1×=0，∴a⊥b.又∵x⊥y，∴［a+（t2-3）b］·(-ka+tb)=0.化简得k=.∴=(t2+4t-3)=(t+2)2.当t=-2时，有最小值为.11.已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量法求两直角边中线所成钝角的余弦值.思路分析:本题考虑用向量的几何法不易入手,故考虑用向量的坐标法,将直角三角形放到直角坐标系中,写出点的坐标,然后利用向量的坐标运算求解.解:建立如图所示的坐标系,则A(4,0),B(0,6),E(2,0),F(0,3).所以=(-4,3),=(2,-6).所以·=-26,||=5,||=.所以cos∠AO′B=.所以两中线所成钝角的余弦值为.拓展探究12.讨论研究：以坐标原点O和A（4，2）为2个顶点，作等腰直角三角形ABO，∠B=90°,求点B的坐标和AB的长.解：设B（x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2).∵∠B=90°,∴⊥.∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y.①设中点为C，则C（2，1），=（2，1），=（x-2,y-1).∵△AOB为等腰直角三角形，∴⊥.∴2(x-2)+(y-1)=0,即2x+y=5.②由①②得∴B(1,3)或（3，-1）.∴=（-3，1）或（-1，-3）.∴|AB|=||=.
