复变函数第一章讲义VIP免费

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月。复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。1545年意大利数学物理学家HCardan在所著《重要的艺术》一书中列出并解出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)40xx的根。他求出形式的根为55和55，积为25(15)40。但由于这只是单纯从形式上推广而引进，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的。因而复数在历史上长期不能为人们所接受。“虚数”这一名词就恰好反映了这一点。直到十八世纪，JRDAlembert，LEuler等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们缍接受并理解了复数。复数函数和理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕Cauchy、Weierstrass和Riemann三人的工作进行的。到本世纪，复数函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它学科及数学的其它分支中，复数函数论都有着重要应用。第一章复数与复变函数教学重点：复变函数的极限和连续性教学难点：复平面上点集的n个概念教学基本要求：1、了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数运算2、知道无穷远点邻域3、了解单连通区域与复连通区域4、理解复变函数、极限与连续§1复数1、复数域形如zxiy或zxyi的数，称为复数，其中x和y均是实数，分别称为z的实部和虚部，记作Rexz，Imyz；1i称为虚单位。两个复数111zxiy，222zxiy，12zz1212,xxyy.虚部为零的复数可看作实数。因此，全体实数是全体复数的一部分。xiy和xiy称为互为共轭复数，记为xiyxiy或xiyxiy.复数四则运算规定为：121212()()zzxxiyy1212121221()()zzxxyyixyxy1121212122222222222(0)zxxyyyxxyizzxyxy易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的。2、复平面一个复数zxiy实际上是由一对有序实数(,)xy唯一确定，因此，若平面上的点(,)xy与复数zxiy对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系。由于x轴上的点和y轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x轴为实轴，y轴为虚轴，这样表示复数z的平面称为复平面或z平面。3、复数的模与幅角由图1-1中可以知道，z与从原点到点z所引的向量oz�也构成一一对应关系。从而，我们能够借助于z的极坐标r和来确定点z，oz�的长度称为复数z的模，记为220rzxy根据向量的运算及几何知识，得到两个重要的不等式：1212zzzz1212zzzzoz�与实轴正向间的夹角满足tanyx称为z的幅角（Arguent），记作Argz，任一非复数z均有无穷多个幅角，以argz表示其中一个特定值，并称满足条件argz的一个值为Argz的主值或z的主幅角，则有arg2Argzzk(0,1,2,)k注：当0z时，0r，幅角无意义从直角坐标与极坐标关系有(cossin)zri（三角形式）（1）若引进著名的Euler公式：cossiniei，则（1）可化为izre（指数形式）（2），由（2）及指数函数性质即可推得12()1212izzrre,12()1122izrezr因此1212zzzz，1122zzzz，1212arg()argargzzzz,1122arg()argargzzzz特别地，当12nzzzz时，有()(cossin)ninninnzrerernin，当1r时，有(cossin)cossinnninnin（DeMoivre公式）例1.1求cos3及sin3用cos与sin表示的式子。4、曲线的复数方程例1.2连接1z及2z两点的线段的参数方程为：121()zztzz(01)t连接1z及2z两点的直线的参数方程为：121()zztzz()t例1.3z平面上以原点心，k为半径的圆周的方程为zR，z平面上以0z为心，R为半径的圆周的方程为0zzR例1.4z平面上实轴的方程为Im0z虚轴的方程为Re0z§2复平面上的点集1、几个基本概念定义1.1满足不等式0zz的所有点z组成的平面点集称为0z的-邻域，记为0()Nz.定义1.2设E为一平面点集，若点0z的任意邻域内均有E的无穷多个点，则...