二次函数y=ax+bx+c的图象和性质VIP专享VIP免费

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时二次函数解析式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的解析式？已知二次函数图象上两个点的坐标，可用待定系数法求其解析式交点式：y=a(x-x1)(x-x2)1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，解方程组得：因此，所求二次函数的解析式是：a=2,b=-3,c=5.y=2x2-3x+5.【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.【例题】【例2】已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.yox解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3由点(0,-5)在抛物线上得：a-3=-5,得a=-2，故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.-1-3【例题】【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.【例题】解析：方法一：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），设函数解析式为y=a(x-1)2+4，因为当x=-2时，y=0，所以0=a(-2-1)2+4，所以，所以函数解析式为y=(x-1)2+4，即49a4924832.999yxx【例3】当x=1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点之间的距离为6，求此函数解析式.【例题】解析：方法二：由题意知，抛物线的顶点为（1,4），对称轴为x=1，又因为抛物线与x轴两交点之间的距离为6，所以抛物线与x轴的两交点为（-2,0）和（4,0），设函数解析式为y=a（x+2)(x-4)，因为当x=1时，y=4，所以4=a(1+2)(1-4)，所以，所以函数解析式为y=(x+2)(x-4)，即49a4924832.999yxx1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a,b,c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2.当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.3.当抛物线与x轴的两个交点易得到时，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.【归纳】（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的解析式.【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,根据题意，得.1,039,0ccbacba.1,32,31cba解之得∴所求抛物线的解析式为.132312xxyAyxOCB【跟踪训练】我们需要掌握二次函数解析式的三种求法：（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式.（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.（3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.1.二次函数的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是.2224ymxxmm=++-【解析】把x=0,y=0代入表达式，得m-4m2=0，解得m1=0,m2=,又因为m≠0，所以m=,所以二次函数的表达式为，则此抛物线的顶点坐标是（-4，-4）.答案：（-4，-4）14142124yxx2.已知一个二次函数的顶点是（-1,0）且过点（2,18），此二次函数解析式为.【解析】设二次函数解析式为y=a(x+1)2,因为x=2时，y=18，所以18=a(2+1)2,解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x+1)2.答案：y=2(x+1)23.（湖州·中考）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【解析】（1）∵抛物线y=x﹣2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．∴抛物线的解析式为y=﹣（x3)﹣（x+1），即y=x﹣2+2x+3.（2）∴顶点坐标为（1,4）.4.（宁波•中考）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．求抛物线的解析式和顶点坐标.【解析】∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），∴可设抛物线解析式为y=a（x1﹣）（x3﹣），把C（0，-3）代入，得3a=-3，解得a=1﹣，故抛物线解析式为y=-（x1﹣）（x3﹣），即y=x﹣2+4x3﹣，∴顶点坐标为（2，1）.一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.——佚名