等差数列的前n项和VIP免费

2.3等差数列的前n项和实例探究:高斯(1777—1855)德国著名数学家。1+2+3+…+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和2+99=101，······第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：101×50=5050。问题:如何求一般等差数列的前n项和？等差数列的前n项和数列{an}中，a1+a2+a3+……+an称为数列{an}的前n项和，记为Sn.Sn=a1+a2+a3+……+anSn=an+an-1+an-2+……+a2+a1如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？倒序相加法探究发现如何求一般等差数列{an}的前n项和Sn？Sn=a1+(a1+d)+……+[a1+(n-1)d]Sn=an+(an-d)+……+[an-(n-1)d]2Sn=n(a1+an)2)(11nnaanS公式an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(21公式等差数列前n项和公式公式1公式2观察公式2,看其与二次函数有何联系？2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1将公式2：变形可得dnnnaSn2)1(1,2,21dabda令，为常数则有),(2babnanSn当d≠0时，Sn是一个常数项为零的二次函数.当d=0时，Sn=na1，{an}是一个常数列，ndandSn)2(212.),(2的形式为常数项的和都可以写成即任何一个等差数列前babnanSnn.}{的等差数列，公差为是首项为；abanSbannSnn三、公式的应用：例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{an}的Sn知三求二nnSanda,,,,15.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1nnsnndnaa所以得先由5002)955(1010s2550)2(2)150(501005050s(1)a1=5,an=95,n=10.求S10(2)a1=100,d=-2,n=50.求S50(3)a1=14.5,d=0.7,an=32.前9项例2.等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54?变式：1645(1)求等差数列13，15，17，…81的各项和。a51+a52+…+a80=393(2)在等差数列{an}中，a4=0.8，a11=2.2,求a51+a52+…+a80三、公式的应用：2n252nn(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则{an}的通项an=_____(4)已知数列的通项an=-5n+2，则其前n项和为______(5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=15，a10=25.(1)求通项an；(2)若Sn=112，求n.an=7+(n-1)×2=2n+5n=83.已知a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则S13=___100例3.在等差数列{an}中，(1)a3+a33=6，求S35；(2)a33=10，求S65.变式：在等差数列{an}中-301562.已知a1-a4-a8-a12+a15=2，则S15=___三、公式的应用：1.已知a6+a9+a12+a15=20，则S20=___四、小结本节课学习了以下内容：2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(11、等差数列的前项和公式1：2、等差数列的前项和公式2：),(.)2(2212为常数即babnanSndandSnn3、当d≠0时，等差数列的前n项的和是一个常数项为零的二次函数.}{的等差数列，公差为是首项为；abanSbannSnn五、等差数列前n项和问题例1、已知数列{an}的前n项和为：Sn=3n2-2n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解： Sn=3n2-2n，∴a1=S1=3-2=1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5，当n=1时，a1=1也满足上式.∴an=6n-5，而an+1-an=6∴数列{an}成等差数列，且首项为1，公差为6方法点评：a1=S1是求数列通项的必经之路，an=Sn-Sn-1，一般是针对n≥2时的自然数n而言的，因此，要注意验证n=1时是否也适合，若不适合时，则应分段写出通项公式．由数列的前n项和求数列的通项公式的步骤：1、令n=1，求a1，即a1=S1.2、当n≥2时，an=Sn-Sn-1.3、验证n=1时，an=Sn-Sn-1是否成立.4、得出结论.变式：已知数列{an}的前n项和为：Sn=4n2+2(nN*)∈，则求an解： Sn=4n2+2，∴a1=S1=4+2=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n2+2-[4(n-1)2+2]=8n-4，当n=1时，a1=8-4=4≠6不满足.∴2,4816nnnannnnnTnannSna项和的前求数列项和的前、数列例}||{,220523}{22,220523||||||34.035034,7.3401043,1043}{1,10432,10112205123221211211nnSaaaaaaTnanannnanaannSSanSannnnnnnnnnnn时，①当时，；当时，即当，得由的通项公式为所以数列时，也适合上式，当时，当 解：...