关注公众号《品数学》巧用圆锥曲线的焦半径圆锥曲线的焦半径为：二次曲线上任意一点Q到焦点的距离．圆锥曲线的焦半径概念，是圆锥曲线中的一个重要的概念．许多圆锥曲线的求解问题，往往都牵涉到它，且运用圆锥曲线的焦半径分析问题可给解题带来生机．因此，掌握它是非常重要的．椭圆焦半径：R左=a+xe,R右=a-xe,右支双曲线焦半径：R左=xe+a，R右=xe-a(x>0)，左支双曲线焦半径：R左=-(xe+a)，R右=-(xe-a)(x<0),抛物线焦半径：R抛=x+．对于这些结论我们无须花气力去记，只要掌握相应的准线方程及标准方程的两种定义，可直接推得．如对双曲线而言：当P(x0,y0)是双曲线b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b>0)右支上的一点，F1,F2是其左右焦点．则有左准线方程为．由双曲线的第二定义得，左焦半径为;由|PF1|-|PF2|=2a，得|PF2|=|PF2|-2a=ex0-a．(|PF2|亦可由第二定义求得)．例1已知F1，F2是椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆E的离心率e满足|PF1|=e|PF2|，则e的值为()解法1设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0,y0)，于是，抛物线的方程为y2=2(4c)(x+c),抛物线的准线l：x=-3c，椭圆的准线m：，设点P到两条准线的距离分别为d1,d2．于是，由抛物线定义，得d1=|PF2|,……………………①又由椭圆的定义得|PF1|=ed2，而|PF1|=e|PF2|，………………………………②由①②得d2=|PF2|,故d1=d2，从而两条准线重合．∴．故选(C)．解法2由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=e|PF2|，∴|PF2|(1+e)=2a，………①又由抛物线定义得|PF2|=x0+3c,即x0=|PF2|-3c，……………………………②由椭圆定义得|PF2|=a-ex0,………………………………………③由②③得|PF2|=a-e|PF2|+3ec，即|PF2|(1+e)=a+3ec，…………………④由①④得2a=a+3ec，解得，故选(C)．点评结合椭圆、抛物线的定义，并充分运用焦半径是解答本题的基本思想．例2设椭圆E：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)，的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A,如果点M为椭圆E上的任意一点，且|MF1|·|MF2|的最小值为．(1)求椭圆的离心率e；(2)设双曲线Q：是以椭圆E的焦点为顶点，顶点为焦点，且在第一象限内任取Q上一点P，试问是否存在常数λ(λ>0)，使得∠PAF1=λ∠PF1A成立？试证明你的结论．分析对于(1)可利用焦半径公式直接求解．而(2)是一探索型的命题，解题应注重探索．由于在解析几何中对角的问题的求解，往往要主动联想到斜率．而∠PF1A显然是一锐角，又易知∠PAF1是(0,120o)内的角，且90o是斜率不存在的角．于是，抓住90o这一特殊角试探，可得解法1，若注重斜率的研究，考查所两角差的正切，可得解法2；若转变角的角度来观察，将∠PF1A变为∠PNF1，使∠PAF1变成△PNA的外角，可得解法3；若考查角平分线的性质可得解法4；若从图像与所求式的特点分析得知，所求的λ必须是大于1的正数，从常规看来可以猜想到它可能是二倍角或三倍角的关系．由此先探索一下二倍角的情形，考查角平分线定高中数学资料共享群（QQ群：284110736）每天都有资料更新关注公众号《品数学》理，可得解法5；若是考查∠PF1A与∠PAF1的图形位置，直接解三角形PAF1，可得到解法6．(1)解设M(x0,y0),由椭圆的焦半径定义得|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0，|MF1|·|MF2|=(a+ex0)(a-ex0)=a2-e2x02, |MF1|·|MF2|的最小值为,且|x0|≤a，∴a2-e2x02≥a2-e2a2=，解得．(2)解法1由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c,故设双曲线Q的方程为，假设存在适合题意的常数λ(λ>0)，①考虑特殊情形的λ值．当PA⊥x轴时，点P的横坐标为2c，从而点P的纵坐标为y=3c，而|AF1|=3c,∴△PAF1是等腰直角三角形，即∠PAF1=,∠PF1A=,从而可得λ=2．②PA不与x轴垂直时，则要证∠PAF1=2∠PF1A成立即可．由于点P(x1,y1)在第一象限内，故PF1,PA的斜率均存在，从而，有,，且有,…………※又 ，将※代入得,由此可得tan2∠PF1A=tan∠PAF1， P在第一象限，A(2c,0),∴,又 ∠PF1A为锐角，于是，由正切函数的单调性得2∠PF1A=∠PAF1．综合上述得，当λ=2时，双曲线在第一象限内所有点均有∠PAF1=2∠PF1A成立．解法2由题意得双曲线的离心率e=2,且双曲线的实半轴长为c,半焦距为2c...
