第二章2.42.4.11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于()A．－6B．－8C．8D．6解析：∵∠C＝90°，∴AC·CB＝0∴AB·AC＝(AC＋CB)·AC＝AC2＋AC·CB＝AC2＝6.答案：D2．向量a，b，c，实数λ，下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：若a·b＝0，表明a，b垂直，并不是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cosα＝|a||c|cosβ，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不只会是b＝c.故只有B正确．答案：B3．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，且(a＋b)⊥(a＋tb)，则实数t的值为()A．－1B．1C．－2D．2解析：∵(a＋b)⊥(a＋tb)，∴(a＋b)·(a＋tb)＝0，∴a2＋ta·b＋a·b＋tb2＝0，∴4－2t－2＋4t＝0，∴t＝－1.故选A.答案：A4．向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b＝________.解析：a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos60°＝1＋＝.答案：5．若|a|＝4，a·b＝6，则b在a方向上的投影等于________．解析：∵a·b＝|a|·|b|cosθ＝6，且|a|＝4，∴|b|cosθ＝，即b在a方向上的投影等于.答案：6．|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，求a与b的夹角．解：设a与b的夹角为θ，∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，即a2－b·a＝0，∴a·b＝a2＝|a|2＝1，∴cosθ＝＝＝.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a与b的夹角为45°.(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号1基础中档稍难求向量的数量积2、61用数量积求向量的模5、97用数量积研究垂直问题310用数量积求向量的夹角48一、选择题(每小题4分，共6分)1.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝BD，|AD|＝1，则AC·AD＝()A．2B.C.D.解析：∵AB·AD＝0，∴AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝(AB＋BD)·AD＝AB·AD＋BD·AD＝·|BD||AD|·cos∠ADB＝|AD|2＝.答案：D2．设a、b、c是平面内的任意非零向量，且相互不共线，则①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②||a|－|b||＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有()A．①②B．②③C．③④D．②④解析：①③是假命题，②④是真命题．答案：D3．点O是△ABC所在平面上一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心解析：∵OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，∴OB·(OA－OC)＝0⇒OB·AC＝0⇒OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．答案：B4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由(2a＋b)·b＝0得2a·b＝－|b|2，∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∵0°≤〈a，b〉≤180°，2∴〈a，b〉＝120°.答案：C二、填空题(每小题4分，共12分)5．已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|等于________．解析：|5a－b|2＝25|a|2＋|b|2－10a·b＝49，|5a－b|＝7.答案：76．已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝______.解析：因为|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC为直角三角形，其中∠B＝90°.所以AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0＋|BC||CA|·cos(π－C)＋|CA||AB|cos(π－A)＝－4×5×－5×3×＝－25.答案：－257．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，|c|的最大值为________．解析：∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝0⇒|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|·cosθ，∴|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ＝cosθ＝cosθ，则|c|的最大值是.答案：三、解答题8．(10分)若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72.求：(1)|a|；(2)|a＋b|.解：(1)(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，即|a|2－2|a|－24＝0，得|a|＝6.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋2·6·4·＋6＝76.∴|a＋b|＝2.9．(10分)已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．解：由(a＋3b)·(7a－5b)＝0⇒7a2＋6a·b－15b2＝0①(a－4b)·(7a－2b)＝0⇒7a2－30a·b＋8b2＝0②两式相减得2a·b＝b2，代入①或②得：a2＝b2设a、b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°.10．(12分)已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k、t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．解：因为a⊥b，所以a·b＝0.又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，所以－ka2＋t(t－3)b2＝0，因为|a|＝2，|b|＝1，所以－4k＋t(t－3)＝0，3所以k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)，故当t＝时，k取最小值－.4
