第二章2.42.4.21．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－B.C．2D．6解析：a·b＝3×2＋m×(－1)＝6－m＝0，∴m＝6.答案：D2．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.解析：a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝.故选C.答案：C3．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形解析：cosA＝＝＝0，则A＝，故选B.答案：B4．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为____________．解析：cosθ＝＝＝－.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.答案：5．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.解析：a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)．设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得由|b|＝3得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．答案：(－3,6)6．求与向量a＝(，－1)和b＝(1,)夹角相等且模为的向量c的坐标．解：设c＝(x，y)，cosθ1＝cosθ2，所以解得或故c＝或c＝.(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难平面向量数量积的坐标运算126、7向量垂直的坐标形式的应用3、89向量的夹角问题4、95、10一、选择题(每小题4分，共6分)1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于()A．23B．571C．63D．83解析：3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.答案：D2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝()A.B.C．5D．25解析：|a＋b|＝5⇒a2＋2a·b＋b2＝50，条件代入得|b|＝5.选C.答案：C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.B.C.D.解析：设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．由(c＋a)∥b，得2(2＋n)－(－3)(1＋m)＝0，①由c⊥(a＋b)，得3m－n＝0.②联立①②，解得∴c＝(－，－)．答案：D4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈[－，]，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，]B．[0，]C．[1,2]D．[，2]解析：|a＋b|＝＝.∵θ∈，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[，2]．答案：D二、填空题(每小题4分，共12分)5．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝________.解析：设b＝(x，y)，则2b－a＝(2x,2y)－(3,3)＝(2x－3,2y－3)＝(－1,1)，∴2x－3＝－1,2y－3＝1得x＝1，y＝2，∴b＝(1,2)，则cosθ＝＝＝＝＝.答案：6．已知a＝，b是单位向量，且a·b＝，则b＝________.解析：设b＝(x，y)，∵|b|＝1，∴＝1，即x2＋y2＝1.①∵a·b＝·(x，y)＝x＋y＝，∴x＋y＝，即x＝－y.②将②代入①得y2＋(－y)2＝1，∴4y2－6y＋2＝0，即2y2－3y＋1＝0.∴y1＝，y2＝1.∴x1＝，x2＝0.∴b＝或b＝(1,0)．答案：或(1,0)7．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，则a·b的值为________．答案：02三、解答题8.(10分)如图，已知OA＝(3,1)，OB＝(－1,2)，OC⊥OB，BC∥OA，求OC的坐标．解：设OC＝(x，y)，则BC＝OC－OB＝(x＋1，y－2)．∵OC⊥OB，∴－x＋2y＝0.①∵BC∥OA.∴x＋1－3(y－2)＝0，即x－3y＋7＝0.②联立①②解得x＝14，y＝7.故OC＝(14,7)．9．(10分)已知a、b是两个非零向量，且满足|a|＝|b|＝|a－b|，求：(1)a与a＋b的夹角；(2)求的值．解：法一：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|，∴x＋y＝x＋y.由|b|＝|a－b|，得a·b＝x1x2＋y1y2＝(x＋y)．由|a＋b|2＝2(x＋y)＋2×(x＋y)＝3(x＋y)，得|a＋b|＝.(1)设a与a＋b的夹角为θ(0°≤θ≤180°)，则cosθ＝＝＝.∴θ＝30°.(2)＝＝6.法二：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2.又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，∴a·b＝|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，∴|a＋b|＝|a|.(1)设a与a＋b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.∴θ＝30°.(2)＝＝6.10．(12分)平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．(1)当QA·QB取最小值时，求OQ的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．解：(1)设OQ＝(x，y)．∵点Q在直线OP上，∴向量OQ与OP共线．又OP＝(2,1)，∴x＝2y，∴OQ＝(2y，y)．又QA＝OA－OQ＝(1－2y,7－y)，QB＝OB－OQ＝(5－2y,1－y)，∴QA·QB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8，故当y＝2时，QA·OB有最小值－8，此时OQ＝(4,2)．(2)由(1)知QA＝(－3,5)，QB＝(1，－1)，3QA·QB＝－8，|QA|＝，|QB|＝，cos∠AQB＝＝－.4
