11．3角的平分线的性质1．角平分线的定义从角的顶点引出将一个角分成两个相等角的一条射线，叫做这个角的角平分线．2．角平分线的画法如图1，图1(1)以O为圆心，适当长为半径作弧交OA于M，交OB于N.(2)分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C.(3)作射线OC，射线OC即为所求．3．角平分线的性质定理相等角平分线上的点到角的两边的距离______．4．角平分线的判定定理平分线到角的两边的距离相等的点，在角的________上．角平分线的性质(重点)例1：如图2，AD为△ABC的角的平分线，且BD＝DC，求证：AB＝AC.图2思路导引：作辅助线，即过点D分别引AB、AC的垂线，利用角平分线的性质两垂线相等，再通过证三角形全等间接证明．证明：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.∴∠DEB＝∠DEA＝∠DFC＝∠DFA＝90°.【易错警示】角平分线上的点到角两边的距离相等，并不是到角两边任意一点的距离相等．在Rt△ADE和Rt△ADF中，ADADDEDF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)．∴AE＝AF.在Rt△DEB和Rt△DFC中，DBDCDEDF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．∴BE＝CF.∴AE＋EB＝AF＋FC，∴AB＝AC.角平分线的判定(难点)例2：如图3，AP、CP分别是△ABC外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠ABC的平分线上．图3思路导引：过P点引各边的垂线，证明各垂线相等．证明：过点P作PD⊥BM于D，PE⊥AC于E，PF⊥BN于F.∵AP、CP分别是∠MAC、∠NCA的平分线，∴PD＝PE，PE＝PF.∴PD＝PF.又∵PD⊥BM，PF⊥BN，∴点P在∠ABC的平分线上．1．如图4，∠1＝∠2，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，下列结论错误的是()图4A．PD＝PEC．∠DPO＝∠EPOB．OD＝OED．PD＝ODD2．如图5，直线AB上一点O，任画射线OC，已知OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，则∠DOE的度数为________．90°图5图63．如图6，OC为∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，OE＝4，PF＝3，则OF＝________，PE＝________.434．如图7，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：D点在∠BAC的平分线上．图7证明：在Rt△BDE和Rt△CDF中，90,BDECDFBEDCFDBDCD∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴DE＝DF.∴点D在∠BAC的平分线上．
