二次函数的性质共张VIP免费

函数y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x2－4x－6y=0.75x2+3xy=－0.5x2－2x－1.5y=－49x2－83x－6观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）yx0246-22-44y=2x2－4x－6y=－0.5x2－2x－1.5问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a≠0）中的那一个系数决定的吗？a二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下,y随着x的增大而减小.,y随着x的增大而增大.,y随着x的增大而增大.,y随着x的增大而减小.根据图形填表：a4bac4,a2b2a4bac4,a2b2a2bx直线a2bx直线a4bac4,a2bx2最小值为时当a4bac4,a2bx2最大值为时当时当a2bx时当a2bx时当a2bx时当a2bx例：已知函数y=－0.5x2－7x＋7.5(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图像；例题探究解：（1） a=－0.5,b=－7,c=7.5;所以函数y=－0.5x2－7x＋7.5的大致图像如图：x=－720xy10O10－10305－10－20－15－5(－7，32)(0，7.5)(－15，0)(1，0)⑵自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。解：⑵由右图可知，当x≤－7时，y随x的增大而增大；当x≥－7时，y随x的增大而减小；当x＝－7时，函数有最大值32。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?（4）根据图象，说出x取哪些值时，①y=0;y<0;y>0.②③当-15＜x＜1时当x=-15或x=1时当x＜-15或x＞1时已知函数y=x2－3x－4.⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；解： y=x2－3x－4＝(x－1.5)2－6.25,∴图象顶点坐标为(1.5,－6.25);又当y=0时，得x2－3x－4＝0的解为：x1＝－1，x2＝4。则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0)与y轴的交点为(0,－4)(－1,0)(1.5,－6.25)(0,－4)(4,0)x=1.5Oyx⑵记当x1=3.5,x2=,x3=时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?－22⑵如右图可知:y2＞y1＞y3(,y2)－2(,y3)2(3.5,y1)课内练习1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：⑴y=2x2－8x＋1；⑵y=－3x2－5x＋12、二次函数y=x2＋bx+9的图象顶点在y轴上，那么b等于多少？x拓展与实践3.05米4米?2.25米oxy⑴球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；⑵球在运动中离地面的最大高度。解:⑴设函数解析式为:y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：2.52a+k=2.25(4－2.5)2a+k=3.05则：a=－0.2,k=3.5∴解析式为:y=－0.2x2+x+2.25,自变量x的取值范围为：0≤x≤4.⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：想一想如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴的两个交点的坐标为（x1，0）和（x2，0）方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的坐标有什么关系？那么x1和x2恰好是方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解就是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的坐标。横可以发现：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的存在性与方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的解是否存在有关。归纳与探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0(a≠0)解的存在性又与什么有关呢？b2－4ac的正负性有关。故而：①当b2－4ac时，抛物线与x轴有交点；②当b2－4ac时，抛物线与x轴只有交点；③当b2－4ac时，抛物线与x轴交点。＞0两个＝0一个＜0没有⑴y=2X２-X-1y=4X⑵2+4X+1y=3X⑶2+2X+51、抛物线与x轴的交点的个数：2个1个0个b2-4ac﹥0b2-4ac=0b2-4ac<02、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个D二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a__0，b__0，c__0yxob-4ac___022、已知二次函数的图像如图所示，下...