方程的根与函数的零点VIP专享VIP免费

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点问题一：1.对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1它们的含义分别如何？2.方程2x-1=0的根，函数y=2x-1的图象与x轴的交点分别是什么？思考：方程2x-1=0的实根与对应的一次函数y=2x-1的图象与x轴的交点有什么关系？方程的根等于对应函数的图象与x轴的交点的横坐标•[问题1]填表：方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)，(3,0)(1,0)无交点思考1：方程的根与对应函数的图象与x轴的交点有什么关系?方程的根等于对应函数的图象与x轴的交点的横坐标.思考2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有什么关系？函数图象判别式符号(设判别式Δ＝b2－4ac)Δ＞0Δ＝0Δ＜0与x轴交点个数____________方程的根的个数____________210210讲授新课对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.1.函数零点的概念：函数零点概念的理解:(1)函数y＝f(x)有零点，则零点一定在其定义域内．(2)若c是函数y＝f(x)的零点，则有f(c)＝0.(3)函数的零点不是点，是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，即零点是个实数．2．方程的根与函数的零点的关系交点的横坐标零点例1：求下列函数的零点(1)f(x)＝x2+2x＋4；(2)f(x)＝x2－x－6；(3)f(x)＝12x－4；(4)f(x)＝log3x－1.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能求出方程f(x)＝0的根，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．1.指出下列函数的零点：①f(x)＝x2－2x－3零点为________．②g(x)＝lgx＋2零点为________．2.函数y＝3x－2的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是()A.23；23B.23，0；23C．－23；－23D.－23，0；－231．下列图象表示的函数中没有零点的是()A2．下列函数的图象中没有零点的是()D2.若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．1．函数f(x)＝4x－2x－3m的零点为1，则实数m的值为()A.－23B.23C.32D.－323.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使_______成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与______的交点的______就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有______⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴横坐标实数根交点零点2.函数零点的求法(1)代数法(2)几何法1：作出函数f(x)=2x-1的图像，思考函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？2：作出二次函数f(x)=x2-2x-3的图像，思考函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点附近如何分布？思考:(1)如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？(1)f(1)＞0,f(2)＞0;(2)f(1)＞0,f(2)＜0;(3)f(1)＜0,f(2)＜0;(4)f(1)＜0,f(2)＞0.(2)一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.函数零点存在性定理：思考：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？例2：(1)使得函数f(x)＝lnx＋12x－2有零点的一个区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)(2)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调且图象连续，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上()A．至少有三个零点B．可能有两个零点C．没有零点D．必有唯一零点判断函数零点所在区间的三个步骤(3)结：①若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点;②若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点;③若符号为负且函数在该区间内是单调函...