2013年中考数学分类汇编之相似三角形一．选择题二．填空题三．解答题25．（2013温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0.8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作□CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．考点：相似形综合题；存在型；动点型；分类讨论．分析：（1）首先证明△BCE∽△BAO，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；（2）证明△EDA∽△BOA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；（3）分m＞0，m=0和m＜0三种情况进行讨论，当m=0时，一定不成立，当m＞0时，分0＜m＜8和m＞8两种情况，利用三角函数的定义即可求解．当m＜0时，分点E与点A重合和点E与点A不重合时，两种情况进行讨论．解答：解：（1） A（6，0），B（0，8）．∴OA=6，OB=8．∴AB=10， ∠CEB=∠AOB=90°，又 ∠OBA=∠EBC，∴△BCE∽△BAO，∴=，即=，∴CE=﹣m；（2） m=3，∴BC=8m=5﹣，CE=﹣m=3．1∴BE=4，∴AE=ABBE=6﹣． 点F落在y轴上（如图2）．∴DE∥BO，∴△EDA∽△BOA，∴=即=．∴OD=，∴点D的坐标为（，0）．（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．则CP=CE=﹣m．（Ⅰ）当m＞0时，①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP=∠BAO，∴cos∠GCP=cos∠BAO=，∴CG=CP•cos∠GCP=（﹣m）=﹣m．∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+．根据题意得，得：OG=CP，∴m+=﹣m，解得：m=；②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．（Ⅱ）当m=0时，即点C与原点O重合（如图4）．2（Ⅲ）当m＜0时，①当点E与点A重合时，（如图5），易证△COA∽△AOB，∴=，即=，解得：m=﹣．②当点E与点A不重合时，（如图6）．OG=OCOG=m﹣﹣﹣（﹣m）=﹣m﹣．由题意得：OG=CP，∴﹣m﹣=﹣m．解得m=﹣．综上所述，m的值是或0或﹣或﹣．点评：本题是相似三角形的判定于性质以及三角函数的综合应用，正确进行分类是关键．324．（2013台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3））如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线ABBC﹣和ADDC﹣向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）考点：相似形综合题；新定义；操作型；阅读型；分类讨论．分析：（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，过点O作一条线段OC使OC=AB，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；（2）取AC的中点D，连接BD，设BC=x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BC，从而得出结论；（3）①当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出，再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时，的值，当AP=QM时，可以求出的值；②根据①求出的两个的值就可以求出tanβ的取值范围；（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜，△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题．解答：解：（1）如图1，①作一条线段AB，②作线段AB的中点O，③作线段OC，使OC=AB，④连接AC、BC，∴△ABC是所求作的三角形．（2）如图2，取AC的中点D，连接BD ∠C=90°，tanA=，4∴∴设BC=x，则AC=2x， D是AC的中点，∴CD=AC=x∴BD===2x，∴AC=BD∴△...
