《1.3弧度制》导学案1VIP专享VIP免费

《1.3弧度制》导学案1课程学习目标1.了解弧度制的概念及其意义，会将角度制与弧度制互相转化.2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题.3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.课程导学建议重点:理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用.难点:弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系.第一层级：知识记忆与理解知识体系梳理创设情境自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？知识导学问题1:弧度制的定义以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制，把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1rad.问题2:角度与弧度之间的转换①将角度化为弧度:360°=2π，180°=π，1°=≈0.01745rad，n°=rad.②将弧度化为角度:2π=360°，π=180°，1rad=()°≈57.30°=57°18'，nrad=()°.问题3:弧度制下终边相同的角的表示(1)与任意角α终边相同的角组成的集合为S={β|β=α+2kπ，k∈Z}，其中α为角的弧度数.(2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后，就使角的集合与实数集R之间建立了一种一一对应的关系，即每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与之对应.(3)在表示与角α终边相同的角时，要注意统一单位，应避免出现30°+2kπ或+k·360°，即同一表达式中度量单位要统一.问题4:弧长公式及扇形的面积公式(1)弧长公式:①弧度制:l=|α|r；②角度制:l=.(2)扇形的面积公式:①弧度制:S=lr=|α|r2；②角度制:S=.上述公式中，由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量，即知二得二；使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单，便于记忆、应用)，但是如果已知的角是以“度”为单位时，则必须先把它化成弧度后再用公式计算.知识链接弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏形起源于印度.但印度的数学家并没有明确提出弧度制这个概念.严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉(1707—1783)于1748年引入的.这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算.基础学习交流1.225°角的弧度数为().A.B.C.D.【解析】因为1°=rad，所以225°=225×=.【答案】C2.若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为().A.40πcm2B.80πcm2C.40cm2D.80cm2【解析】72°=，S扇形=|α|R2=××202=80π(cm2).【答案】B3.半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角是.【解析】α===2(rad).【答案】2rad4.两角差为1°，两角和为1rad，求这两角的弧度数.【解析】设两角分别为α、β，则有α-β=，α+β=1，解得α=+，β=-.第二层级：思维探索与创新重难点探究探究一角度与弧度的互化(1)把22°30'化成弧度；(2)把化成角度.【方法指导】利用1rad=()°，1°=rad进行换算，对于特殊角可利用180°=πrad直接换算.【解析】(1)22°30'=22.5°=22.5×=rad.(2)rad=×()°=()°=10°.【小结】弧度制与角度制的互化应熟悉其互化规则.在利用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可省略不写.探究二用弧度表示终边相同的角(1)将-1485°表示成2kπ+α(k∈Z)的形式，且0≤α<2π；(2)若β∈[0，4π]，且β与(1)中α的终边相同，求β.【方法指导】(1)可以先化成用度数表示的终边相同的角，再转化为弧度；也可直接将度数化成弧度，再写成用弧度表示的终边相同的角的形式.(2)由β的范围及β=2kπ+α(k∈Z)可求出β.【解析】(1) 1485°=1485×==8π+，∴-1485°=-8π-=-10π+.(2) β与α的终边相同，∴β=2kπ+α=+2kπ(k∈Z).又 β∈[0，4π]，∴β1=，β2=+2π=.【小结】在将角度化成弧度的过程中，要注意负角应怎么化，这里容易忽略β∈[0，4π]这个条件.探究三与弧度制有关的综合题已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【方法指导】记准、记熟弧长公式、扇形的面积公式是解题的关键.【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， α=60°=，R=10，∴l=π...