第2章 非线性方程数值解法VIP专享VIP免费

第2章非线性方程的数值解法本章重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法。无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.0)(xf2.1二分法求非线性方程0)(xf确定方程的有根区间计算根的近似值的根的方法分为两步：首先确定有限区间：依据零点定理。设，且，则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负，则此根唯一。],[)(baCxf0)()(bfaf0)(xf),(ba)('xf),(ba等步长扫描法求有根区间用计算机求有根区间：等步长扫描法。设h>0是给定的步长，取，若则扫描成功；否则令，继续上述方法，直到成功。如果则扫描失败。再将h缩小，继续以上步骤。haxax10,0)()(10xfxfhxxxx0110,bx1等步长扫描算法算法：（求方程的有根区间）(1)输入；(2)；(3)，若输出失败信息，停机。(4)若。输出，已算出方程的一个根，停机。0)(xfhba,,)(0aff)(,1xffhaxbx01fx等步长扫描算法(5)若。输出为有根区间，停机(6)，转3）注：如果对足够小的步长h扫描失败。说明：在内无根010ff],[,,xaxaxa],[ba二分法用二分法(将区间对平分)求解。令若，则为有根区间，否则为有根区间记新的有根区间为，则且)(,,1121111bacbbaa0)()(11cfaf],[11ca],[11bc],[22ba],[],[2211baba)(112122abab二分法对重复上述做法得且],[22ba......],[......],[],[2211nnbababa)(211ababnnn二分法设所求的根为，则即取为的近似解x......2,1],[nbaxnn......2,1nbxann0)(21lim)(lim1nababnnnnxbannnnlimlim)(21nnnbacxx求方程f(x)=0的根的二分法算法).(21)4(;endwhile].,[],[];,[],[0)()()2);(),(21)1||)3(;3,,10)()()2(;,],[:)1(baxbxbaelsexabathenxfafifxfbaxbawhileelsebathenbfafifbaba输出计算令时做步转第值输入重新步返回第值及精度控制量的有根区间输入求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法);();(211||while)2endwhile;;;0)()(while)1while)3(;;)2(;,,,:)1(11011111111111xfbaxabhabaabfafbbhabaahba计算时做做时做输入求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法;endwhile;;10;:)3;endwhile].,[],[],[],[0)()(if3);3(0)(if2111111111100habhxaxbxbaelsexabathenxfafxf输出转例题例1设方程解：取h=0.1,扫描得：又即在有唯一根。]2,1[],[,1)(3baxxxf0344.0)4.1(061.0)3.1(ff].4.1,3.1[方程的有根区间为]4.1,3.1[,013)(2'xxxf0)(xf]4.1,3.1[2.2一般迭代法2.2.1迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如：0)(xf)(xx3331101xxxxxxxxxxcos0cos迭代法及收敛性考察方程。这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根，但如果给出根的某个猜测值，代入中的右端得到，再以为一个猜测值，代入的右端得反复迭代得)(xx0x)(xx)(01xx1x)(xx)(12xx,......1,0)(k1kkxx迭代法及收敛性若收敛，即则得是的一个根}{kxxxkklimx)(xx)()lim()(limlim1nxxxxxnnnnn迭代法的几何意义交点的横坐标*x)()(xyxyxxy=x2x0x1x简单迭代法将变为另一种等价形式。选取的某一近似值，则按递推关系产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。0)(xf)(xxx],[0bax,......1,0)(k1kkxx}{kx例题例2.2.1试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。解：由建立迭代关系k=10,1,2,3…….计算结果如下:31xx01)(3xxxf311kkxx例题精确到小数点后五位5102132472.1x例题但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结果越来越大，是发散序列1x3x,...2,1131kxxkk5.10x2.3751x12.392x}{kx迭代法的收敛性定理2.2.1（压缩映像原理）设迭代函数在闭区间上满足（1）（2）满足Lipschitz条件即有且。)(x]...