函数的极限(左右极限)1VIP专享VIP免费

一复习引入，提出问题回忆当x→∞、x→＋∞、x→－∞时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似的思想和方法研究x→x0时的函数极限．◆定义1:一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a.lim()xfxa记作：记作：lim()xfxa◆定义(2):一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,lim()xfxalim()xfxa那么就说当x趋向于无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作:lim()xfxa如果且◆定义(3)◆对于常数函数f(x)=c(x∈R),也有lim()xfxCaf(x)limf(x)limaf(x)limxxx0x1limx1．考察函数y=x2，当x无限趋近于2时，函数的变化趋势(1)图象xyo11.512.2542y=x2二考察函数，比较特征(2)列表4yx2.52.12.012.0012.00012.00001……y=x26.254.414.044.0044.00044.00004……2.250.410.040.0040.00040.00004……x1.51.91.991.9991.99991.99999……y=x22.253.613.963.9963.99963.99996……1.750.390.040.0040.00040.00004……4y从表格上看：表1说明，自变量x＜2趋近于2(x→2-)时，y→4．表2说明，自变量x＞2趋近于2(x→2+)时，y→4．从图象上看：自变量x从左侧趋近于2(即x→2-)和从右侧趋近于2(即x→2+)时，y都趋近于4．从差式|y－4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数y＝x2的极限是4．记作：4xlim22x强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．即:“x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．2.考察函数（x≠1），当x无限趋近于1（但不等于1）时，函数的变化趋势1x1xy2（1）图象y=x+1(x∈R,x≠1)(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近于1，函数的值无限趋近于2.1x1xy221-101xy强调：虽然在x＝1处没有定义，但仍有极限．3．考察函数，当x无限趋近于0时，函数的变化趋势？0)(x1x0)(x00)(x1xyy110x-1(2)结论：x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1(1)图象此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x0处无极限．(1)请思考下面问题：当x→x0时，y＝f(x)在x＝x0处有定义，是不是一定有极限？y＝f(x)在x＝x0处无定义，是不是一定没有极限？x→x0包括两层意思：x从x0的左侧趋近于x0，即x→x0-；x从x0的右侧趋近于x0，即x→x0+．是不是x→x0-和x→x0+时，f(x)会趋近于同一个常数？(2)归纳结果，得到：三整理提炼，明确概念函数在一点处的极限与左、右极限的定义函数在一点处的极限与左、右极限1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f(x)的极限是a，记作或当x→x0时f(x)→a。af(x)lim0xx2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作。af(x)lim0xx3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作。af(x)lim0xx4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有.Cf(x)lim0xxx无限趋近于常数x0，是指x从x0的左、右两侧无限地趋近于x0。注意：（1）中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即x≠x0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以不属于f(x)的定义域）f(x)lim0xx（2）是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，而、都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限，显然f(x)lim0xxf(x)lim0xxf(x)lim0xxaf(x)limf(x)limaf(x)lim000xxxxxx例1当x→时，写出下列函数的极限①y=x2②y=sinx③y=x④y=52四例析概念,深化理解设C为常数，则0limxxCC例2写出下列函数当x→0时的左右极限，哪些有极限？①②③...