85第十讲组合恒等式一、知识概要数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。1，基本的组合恒等式简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有：①Cr=Cn-r；nn②Cr+1=Cr+1+Cr；n+1nn③kCk=nCk-1；nn-1④CrCm=CmCr-m；nrnn-m+Cn=2n；n⑥C0-C1+C2++(-l)nCn=0.nnnn2，解题中常用方法①运用基本组合恒等式进行变换；②运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明③运用数学归纳法；④变换求和指标；⑤运用赋值法进行证明；⑥建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明；⑦构造合理的模型。=1。86例1，求证：C1+2C2+3C3++nCn=n-2n-1.左边=nC0+nCi+nC2++nCn-1=n-2n-i=右边n-1n-1n-1n-1例2,求和式工k2Ck的值。n…k=1基本思路：将k2C改写为k-kCk,先将kCk用恒等式3提取公因式n,然后再将kCk-i变形nnnn-1成为(k-l)Ck-l+Ck-1，而(k-l)Ck-l又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各项系数n-1n-1n-1中均不含有变动指标k了。解:区k2Ck=Xk-kCk=Xk-nCk-1=n区k-Ck-1nnn-1n-1k=1k=1k=1k=nX(k-1+1).Ck-1n-1k=1=n(k—1).Ck-1+Ck-1=nLn-1n-1-k=1X「(n-1).Ck-2+Ck-1—n-2n-1-k=1X(n-1).Ck-2+n一2k=2XCk-1n-1k=1=n(n-1)XCk-2+nXn-1k=1(n-1)2n-2+n2n-1(n+1)2n-2+C2004例4，设m,neN+求X(m+k)(m+k+1)=34+3mn+n2-1例3,求X(-1)kCk的值。2005k=0解：X(-1)kCk=1-C1+C2-+(-1)2004C20042005200520052005k=0=1-(C0+C1)+(C1+C2)2004200420042004…二、运用举证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：20087+C2++C2)m+1m+2m+n=21lC2+C2++C2+C2+23mm+1+C2m+)-(C2+C2+=2(C3—C3)=—(3m2m+n+1m+13+3mn+n2—例5，当m0,将原=IG+X)f1+1]从n个红球中取出n—r个,其取法种数为:CrCn-r=r=0,1,2,nnn,n，所以符合题的取球方法种数(C°〉+(C1)+nn+(Cn)。n因此原式成立。将上式展开，其中常数项为Cn，由此可知，原式成立。2n基本思路2：注意到恒等式Cr=Cn-r，要证的等式的左边可变形为：nn(2n)!(2n)!C0Cn+C1Cn-1++CnC0；而等式右边即为：=—■；()=Cn，因此可以考虑nnnnnnn!•n!n!A2n—n;!2n建立适当的组合记数模型来加以证明。证明：设袋子中有n个白球，n个红...
