2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷(3月8日下午4:00—6:00)班级::姓名:成绩:题号一二三四五合计得分评卷人复核人考生注意:1、本试卷共五道大题,全卷满分140分;2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答;3、解题书写不要超出装订线;4、不能使用计算器。一、选择题(本题满分42分,每小题7分)本题共有6个小题,每题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分;不选、错选或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。1、已知,则,x,的大小关系是()A、B、C、D、2、如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作,PQ交CD于Q,若,则正方形ABCD的面积为()A、B、16C、D、323、若实数a,b满足,则a的取值范围是()A、B、C、D、4、如图,在四边形ABCD中,,,,,,则AD边的长为()A、B、C、D、5、方程的正整数解(x,y)的组数是()A、0B、1C、3D、5QPACBDACDB6、已知实数x,y,z满足,则的值是()A、B、0C、1D、2二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1、x是正整数,表示x的正约数个数,则③×④÷⑥等于.2、草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是.3、如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC的中点,,,且,则AB的长是.4、小明将1,2,3,…,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输入()个数,且平均值为30.75,假设这()个数输入无误,则漏输入的一个数是.三、(本大题满分20分)解方程四、(本大题满分25分)如图,圆内接四边形ABCD中,.求证:MNACDBACDB五、(本大题满分25分)已知二次函数和一次函数,其中a、b、c满足,..(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点A、B;(2)过(1)中的两点A、B分别作x轴的垂线,垂足为、.求线段的长的取值范围。EGFQBCADP2013年全国初中数学联赛(初三组)初试解答一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)1.已知,则,,的大小关系是()A.B.C.D.解:由,得,从而,所以,又,所以.故选D.2.如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=CQ=2,则正方形ABCD的面积为A.B.16C.D.32解:如图,过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD,垂足分别为E、F、G.易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP,所以FQ=FD=EP=,因此正方形ABCD的边长为,所以面积为.故选C.3.若实数,满足,则的取值范围是()A.a≤-1B.a≥-1C.a≤1D.a≥1解:将原式看作为关于b的一元二次方程,则其判别式,解得a≤-1.故选A.4.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=,BC=,CD=,则AD边的长为()A.B.C.D.解:过A和D点向BC作垂线,垂足为M和N,那么BM=AM=,CN=3,DN=,,DCABNMDCABQBCADP所以48,所以AD=.故选B.5.方程的正整数解的组数是()A.0B.1C.3D.5解:不妨设,则,所以,解得.又显然,即.经验证:均不符合条件.所以,符合条件的解的组数为0组.故答案选A.6.已知实数满足,则的值是()A.B.0C.1D.2解:显然,否则由已知得即所以.故选B.二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.是正整数,○x表示的正约数个数,则③×④÷⑥等于.解:③,④,⑥,所以③×④÷⑥.故填.2.草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70头牛在24天内可以吃完这片青草,30头牛在60天内可以吃完这片青草,则20头牛吃完这片青草需要的天数是.解:设草原上原有草量为a,每天长出量为b,并设20头牛在x天内可以吃完这片青草.因为一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组.由得.代入中,得,解得.故填96.3.如图,在平行四边形ABCD中,M、N分别是BC、DC的中点,AM=4,AN=3,且,则AB的长是.解:延长AM交DC的延长线于F,则△AMB≌△FMC.则CF=AB,则NF=,过N作NH垂直AF于H,MNDACBEDBAC则AH=,,故,.所以.故填.4.小明将1,2,3,…,n这n个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输入个数,且平均值为,假设这个数输...