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绝对值、相反数、倒数的性质及应用【知识大串联】1．相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零2．互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；3．相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。4．多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。5．绝对值的几何意义：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意：这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。6．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。7．两个负数，绝对值大的反而小。8．绝对值的性质：（1）若a为有理数，则︱a︱≥0.（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。（3）若︱a︱=a，则a≥0.若︱a︱=—a，则a≤0（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0.（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。9．相反数的性质：若a、b互为相反数，则a+b=0.10．倒数的性质：若a、b互为倒数，则ab=1.【巩固训练】例1.（重庆市中考题）5的相反数是（)A.－5B.5C.D.例2.（绵阳市)绝对值为4的实数是A.±4B.4C.－4D.2例3.（佛山市中考题）－2的绝对值是（）。A．2B．－2C．±2D．例4.（济南市中考题)若a与2互为相反数，则|a+2|等于（)A.0B.－2C.2D.4例5若a、b、c都是负数，且︱x-a︱+︱y-b︱+︱z-c︱=0，则xyz是（）A负数B非负数C正数D非正数例6已知a的绝对值是它自身；b的相反数；c的倒数是它自身，则结果不唯一的是（）。AabBacCbcDabc3．解决实际问题例8质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？【解题方法警示】1．整体代换例9.若|a－2|＝2－a，求a的取值范围。例10若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd+1=.2．数形结合例10.（全国初中数学竞赛试题)设x是实数，y＝|x－1|+|x+1|。下列四个结论：Ⅰy没有最小值；Ⅱ只有一个x使y取到最小值；Ⅲ有有限多个x（不只一个)使y取到最小值；Ⅳ有无穷多个x使y取到最小值。其中正确的是[]。A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。类似地可知，|x－a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点－1的距离之和为最小。从数轴上可知，区间[－1，1]上的任一点x到点1与点－1的距离之和均为2；区间[－1，1]之外的点x到点1与点－1的距离之和均大于2。所以函数y＝|x－1|+|x+1|当－1≤x≤1时，取得最小值2。故选（D)。3．分类例11.（哈尔滨市中考题）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（）A．5或－5B．1或－1C．5或1D．－5或－1