2.3函数的奇偶性及周期性一、知识点1．函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3.周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若，则T＝2a；(3)若，则T＝2a.(a>0)二、考点分析考点一函数奇偶性的判断1.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝考点二函数奇偶性的应用2.(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．23.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．考点三函数的周期性及其应用4.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．20125.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x[0,2]∈时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x[2,4]∈时，求f(x)的解析式．三、练习巩固1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．12．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－B.C.D．－3．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝()1A．－B．－C.D.4．(2014·大连)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－B．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－15．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝x－1B．y＝lnx2C．y＝D．y＝－x26(2013湖南)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．17．(2013·淄博一模)设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意tR∈，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f的值等于()A．－B．－C．－D．－8．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x[0,2]∈时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)(1,3)∪D．(－1,0)(0,1)∪9．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．10．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．11．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，bR.∈若f＝f，则a＋3b的值为________．12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2014)＝________.13．设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.14．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；（2）若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．2
