《1.4.1-圆心在极轴上且过极点的圆》导学案3VIP专享VIP免费

《1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆》导学案3学习目标1.会求极坐标系中圆的极坐标方程．2.进一步体会求简单曲线的极坐标方程的基本方法．3.进一步体会极坐标的特点，感受极坐标方程的美.知识梳理2.圆的极坐标方程若圆心的坐标为M(ρ0，θ0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几种常见圆的极坐标方程图4－2－2思考探究1．求直线和圆的极坐标方程的关键是什么？【提示】求直线和圆的极坐标方程关键是将已知条件表示成ρ和θ之间的关系式．这一过程需要用到解三角形的知识．用极角和极径表示三角形的内角和边是解决这个问题的一个难点．直线和圆的极坐标方程也可以用直角坐标方程转化而来．2．直角坐标与极坐标互化时有哪些注意事项？【提示】(1)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但一般约定只在规定范围内求值；(2)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(3)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端.学习过程例题精解例题1求：(1)过A且平行于极轴的直线；(2)过A且和极轴成的直线．【自主解答】(1)如图1所示，在所求直线上任意取点M(ρ，θ)，过M作MH⊥Ox于H，连OM. A，∴MH＝2·sin＝，在Rt△OMH中，MH＝OMsinθ，即ρsinθ＝，所以，过A平行于极轴的直线方程为ρsinθ＝.(2)如图2所示，在所求直线上任取一点M(ρ，θ)， A，∴OA＝3，∠AOB＝，由已知∠ABx＝，所以∠OAB＝－＝，∴∠OAM＝π－＝.又∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ，在△MOA中，根据正弦定理得＝. sin＝sin＝.将sin展开，化简上面的方程，可得ρ(cosθ＋sinθ)＝＋.所以，过A且和极轴成的直线方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝＋.例题2(1)求以B(3，)为圆心，3为半径的圆．(2)求以极点和点N所连线段为直径的圆的极坐标方程．【自主解答】(1) 圆心为B(3，)，半径为3.∴所求圆的极坐标方程为ρ＝6sinθ.(2)如图，设M(ρ，θ)为圆上任一点，则有ONcos∠NOM＝OM，即ρ＝2cos就是所求圆的极坐标方程．课堂作业1．极坐标方程为ρ＝2cosθ的圆的半径是________．【解析】 ρ＝2cosθ，∴ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x.化简，得(x－1)2＋y2＝1.∴半径为1.【答案】12．直角坐标方程x＋y－2＝0的极坐标方程为________．【答案】ρsin(θ＋)＝3．过点A(2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是________．【解析】如图所示，设M(ρ，θ)为直线上除A(2,0)外的任意一点，连接OM，则有△AOM为直角三角形，并且∠AOM＝θ，OA＝2，OM＝ρ，所以有OMcosθ＝OA，即ρcosθ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcosθ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝2.【答案】ρcosθ＝24．(2012·江西高考)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．【解析】直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入整理得ρ＝2cosθ.【答案】ρ＝2cosθ课后检测1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是什么？【解】由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标．【解】曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的直角坐标方程分别为x＋y＝1和y－x＝1，两条直线的交点的直角坐标为(0,1)，化为极坐标为(1，)．3．(2012·安徽高考改编)在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离．【解】极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.4．已知A是曲线ρ＝3cosθ上任意一点，则点A到直线ρcosθ＝1距离的最大值和最小值分别为多少？【解】将极坐标方程ρ＝3cosθ转化成直角坐标方程：x2＋y2＝3x，即2＋y2＝.ρcosθ＝1即x＝1，直线与圆相交，所以所求距离的最大值为2，最小值为0.图4...