章末复习提升课知能整合提升1.函数与方程思想函数与方程思想是密切相关的：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标，也可以说是函数f(x)的函数值等于0时自变量x的值．因此，解题中可以应用函数与方程思想，将函数问题转化为方程(或方程组)问题，通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分析、转化问题，使问题得以解决；也可以通过构造函数将方程问题转化为函数问题，从而把给定问题转化为研究辅助函数的性质(单调性、奇偶性、图像的交点个数、最值等)问题，研究后得出所需要的结论．2．函数零点的存在性定理的应用和使用条件函数零点的存在性定理是本章的重点，其应用十分广泛．例如：判断函数零点所在的大致区间，二分法求方程的近似解等．(1)该定理的条件是：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的；②f(a)·f(b)<0，即f(a)和f(b)的符号相反．这两个条件缺一不可．(2)该定理的结论是“至少存在一个零点”，仅仅能确定函数零点是存在的，但是不能确定函数零点的个数．(3)该定理的逆命题不是真命题，也就是说在区间(a，b)上存在零点的函数f(x)不一定满足f(a)·f(b)<0.如函数f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点，但f(－1)·f(1)>0.3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点情况二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数取决于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解的判别式Δ的符号，具体情况如下：(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数解，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)没有零点．4．二分法(1)对于函数y＝f(x)的图像在区间[a，b]上不间断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．(2)运用二分法的前提条件是先判断函数零点所在的区间，且二分法仅对函数的变号零点适用．(3)求函数零点近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．5．用函数模型解决实际问题(1)要解决函数应用问题，首先要增强应用函数的意识．一般来说，解决函数应用问题可分三步：第一步，理解题意，弄清关系；第二步，抓住关键，建立模型；第三步，数学解决，检验模型．其中第二步尤为关键．(2)在解题中要充分运用数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想及策略，寻求解题途径．(3)根据已知条件建立函数解析式是函数应用的一个重要方面．一般分为两类：一类是借助于生活经验、函数知识等建立函数模型，以二次函数模型为主，一般是求二次函数的最值．另一类是根据几何、物理概念建立函数模型.热点考点例析专题一函数的零点与方程的根的关系及应用1.函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图像研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图像的交点个数定性判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断．3．函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像交点的横坐标．[例1](1)函数f(x)＝lnx－2x的零点所在区间为()A．(1,2)B．(2,3)C.1e，1和(3,4)D．(e，＋∞)(2)已知0
0，所以f(2)·f(3)<0，故f(x)在(2,3)内必有零点，故选B.(2)设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别作出它们的图像，如下图所示．由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个实根，故选A.【答案】(1)B(2)A方法归纳,求零点的四种方法(1)求根法：直接转化成方程的根．(2)图像法：画出函数y＝f(x)的...
