第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式双基达标限时20分钟1．下列说法中，正确的是()．A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列的第k项是1＋D．数列0,2,4,6,8，…，可表示为an＝2n(n∈N*)解析A错，{1,3,5,7}是集合．B错，是两个不同的数列，顺序不同．C正确，ak＝＝1＋.D错，an＝2(n－1)(n∈N*)．答案C2．已知数列，3，，，3，…，，…，则9是这个数列的()．A．第12项B．第13项C．第14项D．第15项解析令an＝＝9，解得n＝14.答案C3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()．A．11B．12C．13D．14解析从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即an＋an＋1＝an＋2，所以x＝5＋8＝13.答案C4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项．解析an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24.答案245．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N*)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．解析由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N*)，得an>0(n∈N*)．又an＋1－an＝an－an＝－an<0，∴{an}是递减数列．答案递减6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)，，，()，，，…(2)，()，，，，…(3)2,1，()，，…(4)，，()，，…解(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号123456↓↓↓↓↓↓数()1于是括号内填，而分子恰为10减序号．故括号内填，通项公式为an＝.(2)＝，＝，＝，＝.只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填，通项公式为an＝.(3)因为2＝，1＝，＝，所以数列缺少部分为，数列的通项公式为an＝.(4)先将原数列变形为1，2，()，4，…，所以应填3，数列的通项公式为an＝n＋.综合提高限时25分钟7．下列命题：①已知数列{an}中，an＝(n∈N*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第一项．②数列，，2，，…的一个通项公式是an＝.③已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29.④已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列．其中正确命题的个数为()．A．4个B．3个C．2个D．1个解析对于①，令an＝＝⇒n＝10，易知最大项为第一项．①正确．对于②，数列，，2，，…变为，，，，…⇒，，，，…⇒an＝，②正确；对于③，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29.③正确；对于④，由an＋1－an＝3>0，易知④正确．答案A8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()．A．289B．1024C．1225D．1378解析由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列2通项bn＝n2，而所给的选项中只有1225满足a49＝＝b35＝352＝1225.故选C.答案C9．数列，，，，…的一个通项公式是________．解析数列可写为：，，，，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…，故通项公式为an＝.答案an＝10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.解析 OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.答案11．已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；(2)a1＝1，an＋1＝.解(1) a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.(2) a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，∴它的前5项依次是1，，...
