1.3二项式定理1.3.1二项式定理双基达标限时20分钟1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()．A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x5解析原式＝(x－1＋1)4＝x4.答案A2．若展开式的第4项为含x3的项，则n等于()．A．8B．9C．10D．11解析Tk＋1＝C·xn－k·＝C·(－1)k·xn－2k，k∈{0，1，2，…，n}，因为当k＋1＝4时，n－2k＝3，所以n＝9.答案B3．对于二项式(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是()．A．①与③B．②与③C．②与④D．①与④解析二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选D.答案D4．二项式的展开式中整式项共有________项(用数字作答)．解析由Tr＋1＝C(x2)9－r＝Cx18－3r，依题意需使18－3r为整数．故18－3r≥0，r≤6，即r＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案75．若的展开式中的常数项为84，则n＝________．解析由Tr＋1＝Cx3(n－r)x－＝Cx3n－，令3n－＝0知2n＝3r.又C＝84，得n＝9.答案96．已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．1解T5＝C()n－424x－8＝16Cx，T3＝C()n－222x－4＝4Cx.由题意知，＝，解得n＝10.Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，令5－＝0，解得k＝2，∴展开式中的常数项为C22＝180.综合提高（限时25分钟）7．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()．A．－297B．－252C．297D．207解析(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207，故选D.答案D8．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()．A．1.23B．1.24C．1.33D．1.34解析(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.答案D9．233除以9的余数是________．解析法一233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9－C，∵除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8.法二233＝230×23＝645×8＝8×(63＋1)5＝8×(C×635＋C×634＋…＋C×63＋C)＝8×(635＋5×634＋10×633＋10×632＋5×63)＋8∵括号内的各项都是9的倍数．∴233除以9所得的余数是8.答案810．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则cosθ＝________．解析(xcosθ＋1)5展开式中x2的系数为Ccos2θ.展开式中x3的系数为C.由题意可知Ccos2θ＝C，∴cos2θ＝，∴cosθ＝±.答案±211．已知在的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解已知二项展开式的通项Tk＋1＝C·＝(－1)kCx2n－k.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6C＝.(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．12．(创新拓展)已知数列{an}(n为正整数)是首项为a1，公比为q的等比数列．(1)求和：a1C－a2C＋a3C，a1C－a2C＋a3C－a4C；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明．解(1)a1C－a2C＋a3C＝a1－2a1q＋a1q2＝a1(1－q)2，a1C－a2C＋a3C－a4C＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1(1－q)3.(2)归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C＝a1(1－q)n，n为正整数．证明：a1C－a2C＋a3C－a4C＋…＋(－1)nan＋1·C＝a1C－a1qC＋a1q2C－a1q3C＋…＋(－1)na1qnC＝a1[C－qC＋q2C－q3C＋…＋(－1)nqnC]＝a1(1－q)n.3
