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第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)VIP免费

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第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标:灵活应用和、差、倍角公式,掌握和差化积与积化和差的方法;培养学生联系变化的观点,提高学生的思维能力.教学重点:和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点:二倍角公式的变形式的灵活应用.教学过程:.Ⅰ课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题,在章头图中,令∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ,所以矩形ABCD的面积S=asinθ·2acosθ=a2·2sinθcosθ=a2sin2θ≤a2当sin2θ=1,即2θ=90°,θ=45°时,a2sin2θ=a2=S不难看出,这时A、D两点与O点的距离都是a,矩形的面积最大,于是问题得到解决..Ⅱ讲授新课[例1]求证sin2=分析:此等式中的α可作为的2倍.证明:在倍角公式cos2α=1-2sin2α中以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2sin∴2=请同学们试证以下两式:(1)cos2=(2)tan2=证明:(1)在倍角公式cos2α=2cos2α-1中以α代替2α、以代替α,即得cosα=2cos2-1,∴cos2=(2)由tan2=sin2=cos2=得tan2=这是我们刚才所推证的三式,不难看出这三式有两个共同特点:(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式,但不要求大家记忆,只要理解并掌握这种推证方法.另外,在这三式中,如果知道cosα的值和角的终边所在象限,就可以将右边开方,从而求得sin、cos与tan.下面,再来看一例子.[例2]求证:sinα·cosβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]分析:只要将S(α+β)、S(α-β)公式相加,即可推证.证明:由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ②①+②得:用心爱心专心sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ即:sinα·cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]请同学们试证下面三式:(1)cosα·sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)](2)cosα·cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)](3)sinα·sinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]证明:(1)由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ②①-②得:sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ即:cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)](2)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ②①+②得:cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ即:cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)](3)由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ①cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ②①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ即:sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]不难看出,这一组式子也有一共同特点,即,左式均是乘积形式,右式均为和差形式,利用这一式可将乘积形式转化为和差形式,也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.[例3]求证sinθ+sin=2sincos分析:θ可有+代替,=-证明:左式=sinθ+sin=sin[+]+sin[-]=sincos+cossin+sincos-cossin=2sincos=右边请同学们再证下面三式.(1)sinθ-sin=2cos·sin;(2)cosθ+cos=2cos·cos;(3)cosθ-cos=-2sin·sin.证明:(1)令θ=+,=-则左边=sinθ-sin=sin[+]-sin[-]=sincos+cossin-sincos+cossin=2cossin=右边(2)左边=cosθ+cos=cos[+]+cos[-]=coscos-sinsin+coscos+sinsin=2coscos=右边(3)左边=cosθ-cos用心爱心专心=cos[+]-cos[-]=coscos-sinsin-coscos-sinsin=-2sinsin=右边.这组式子的特点是左式为和差形式,右式为积的形式,所以这组式子也可称为和差化积公式,只要求掌握这种推导方法,不要求记忆..Ⅲ课堂练习1.已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求证:α+2β=证法一:由已知得3sin2α=cos2β①3sin2α=2sin2β②÷①②得tanα===tan(-2β) α、β为锐角,∴0<β<,0<2β<π,-π<-2β<0,∴-<-2β<∴α=-2β,α+2β=证法二:由已知...

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