第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用.教学过程：.Ⅰ课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决..Ⅱ讲授新课［例1］求证sin2＝分析：此等式中的α可作为的2倍.证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得cosα＝1－2sin2sin∴2＝请同学们试证以下两式:(1)cos2＝(2)tan2＝证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，即得cosα＝2cos2－1，∴cos2＝(2)由tan2＝sin2＝cos2＝得tan2＝这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.下面，再来看一例子.［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②①＋②得：用心爱心专心sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］请同学们试证下面三式：(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ②①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ②①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.和差形式是否可以化为乘积的形式呢?看这一例子.［例3］求证sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替，＝－证明：左式＝sinθ＋sin＝sin［＋］＋sin［－］＝sincos＋cossin＋sincos－cossin＝2sincos＝右边请同学们再证下面三式.(1)sinθ－sin＝2cos·sin；(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；(3)cosθ－cos＝－2sin·sin.证明：(1)令θ＝＋，＝－则左边＝sinθ－sin＝sin［＋］－sin［－］＝sincos＋cossin－sincos＋cossin＝2cossin＝右边(2)左边＝cosθ＋cos＝cos［＋］＋cos［－］＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin＝2coscos＝右边(3)左边＝cosθ－cos用心爱心专心＝cos［＋］－cos［－］＝coscos－sinsin－coscos－sinsin＝－2sinsin＝右边.这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆..Ⅲ课堂练习1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝证法一：由已知得3sin2α＝cos2β①3sin2α＝2sin2β②÷①②得tanα＝＝＝tan（－2β） α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，∴－＜－2β＜∴α＝－2β，α＋2β＝证法二：由已知...
