听课随笔第9课时解三角形复习课(1)、(2)学习要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；2．能利用计算器解决三角形的计算问题。【课堂互动】自学评价1．正弦定理：txjy(1)形式一：=2R；形式二：；；；（角到边的转换）形式三：，，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）(2)解决以下两类问题：1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。(3)若给出那么解的个数为：若，则无解；若，则一解；若，则两解；2．余弦定理：txjy(1)形式一：，，形式二：，，，（角到边的转换）(2)解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）【精典范例】一、判定三角形的形状【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：(1)若a2tanB=b2tanA；(2)b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;(3)(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1.【解】(1)由已知及正弦定理得(2RsinA)2=(2RsinB)22sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B2cos(A+B)sin(A–B)=0∴A+B=90o或A–B=0所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.(2)由正弦定理得sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,∴B+C=90o,A=90o,故△ABC是直角三角形.(3)(sinA+sinB+sinC)–(cosA+cosB+cosC)=1[2sincos+sin(A+B)]–[2coscos听课随笔+2cos2-1]=0[2sincos+sin(A+B)]–2coscos-2sin2=0(sin-cos)(cos-sin)=0sin(-)sinsin=0△ABC是Rt△.二、三角形中的求角或求边长问题【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为BE+EC=BC，所以，所以当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。【例3】在△ABC中，已知sinB=,cosA=,试求cosC的值。【解】由cosA=，得sinA=, sinB
