定积分在几何上的应用目的要求1．掌握定积分解决实际问题的思想方法：分割、近似代替、作和、求极限．能应用定积分求出某些平面图形的面积，知道某些简单的定积分表达式的几何意义．2．通过学习，对“面积”的概念有较为完整的认识．知道在求平面图形的面积时，定积分是一种普遍适用的方法．内容分析1．定积分在几何中的应用源于最初对积分的研究．但是，作为一种数学方法，定积分有广泛的应用．本节课主要研究运用定积分求一些平面图形的面积，同时，通过应用加深对定积分概念的理解，进一步体会学习微积分的重要性．2．本节的教学重点是运用定积分求一些平面图形的面积，教学难点是使学生理解“当x∈[a，b]时，若f(x)＜0，即f(x)的图象位于x轴下3．微积分的思想方法产生于实践，形成一般理论后，又回过来广泛应用于实践．它体现了唯物主义的认识论，教学中要充分发挥教科书的优势，寓思想教育于教学过程之中，这对正在成长中的青年一代世界观的形成，将会产生积极的影响．教学过程1．复习引入(1)板演练习：分别用初等数学方法和定积分方法计算由x＝0、x＝3、x轴及直线y＝x＋3围成的梯形的面积．(2)复习：在练习的基础上复习定积分的几何意义、微积分基本公式(3)提出问题：如果图形由曲线y1＝f1(x)、y2＝f2(x)(不妨设f1(x)≥f2(x)≥0)，及直线x＝a、x＝b(a＜b)围成(见课本图4－13)，那么所围成的图形的面积如何用定积分表示？2．尝试探索(1)推导公式观察图形，由学生归纳出面积公式：练习：完成教科书第170页练习第(1)、(2)、(3)题．(2)尝试应用例1计算由曲线y2＝x、y＝x2所围成的图形的面积．解：(见教科书例1)归纳：求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤．①画出图形；②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；③确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；④写出平面图形面积的定积分表达式；⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．变式一：求由曲线y＝x2、y＝2x＋3所围成的图形的面积．[D]A．①、③B．③、④C．②、③D．②、④(3)变形公式在变式二的基础上，推导出下列变形公式：①如图54－1，在区间[a，b]上f(x)≤0，这时曲边梯形的面积用心爱心专心115号编辑②如图54－2，在区间[a，c]上f(x)≤0，在区间[c，b]上f(x)≥0，那么阴影部分的面积为(此公式应用了定积分的性质，即定积分对积分区间的可加性．)③如图54－3，在区间[a，b]上，g(x)＜f(x)＜0，则图中阴影部分面积为(4)拓广公式①如图54－4，由曲线x＝g(y)和三条直线y＝c、y＝d、x＝0围成的曲边梯形的面积为②如图54－5，阴影部分图形的面积为3．强化训练例2利用定积分的几何意义说明解：(见教科书例2解答)例3计算由曲线y2＝2x、y＝x－4所围成的图形的面积．解法一：(见教科书例3解答)解法二：若取x为自变量，这时应分为两段求积分：教师引导学生对比解法一、解法二的繁简程度．变式一：教科书练习第5、6题．变式二：由y＝sinx、y＝cosx、x＝0、x＝π所围成的图形的面积可表示为[B]4．归纳总结1．求平面图形面积的基本步骤、理论根据及“面积”概念的完整认识．2．各种图形中的曲边梯形的面积公式(分两大类)．3．能利用定积分表达式的几何意义求定积分．布置作业1．教科书习题4．5第1、3题．2．求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M(0，－3)和N(3，0)处的两条切线所围成图形的面积．3．(1996年上海高考题)已知A(－1，2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a≠－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．(1)求直线l1的方程；(2)设△ABD的面积为S1，求|BD|及S1的值；(3)设由抛物线C及直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．(答案：4x＋y＋2＝0；|BD|＝2(a＋1)2，S1＝|a＋b|3；S1∶S2＝3∶2．)用心爱心专心115号编辑
