实际问题的函数建模备课资源函数的本质是变量与变量之间的对应关系，它反映了事物运动变化过程中的内在联系．很多实际问题都可以抽象概括成函数表达式，即建立一个函数模型，从而简捷、准确地找到合理的答案．本节教材按照课程标准的要求，在选材上考虑了素材的时代性、典型性、多样性和可接受性，教材中给出的实例，都是学生感兴趣的、与生活实际密切相关的，是现实生活中常见的现象或其他科学实例．教师在教学中，要注意从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题、经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，要鼓励学生自主探索、合作交流，并在思考、实践、探索、交流的过程中使学生对函数在实际中的应用有较为全面的体验和理解．“数学建模学习”活动应贯穿于全部的教学过程中，教师可尽可能地向学生提供相关的推荐课题背景材料和示范案例，帮助学生设计自己的学习活动，完成课本上的课题作业和探究学习报告．还应鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算和解决实际问题．掌握函数的基础知识是学好本节的前提．例如函数概念、指数函数和性质、对数函数和性质．反过来，通过函数建模的学习，又能加深对上述知识的理解和认识，还能提高学生学习数学的积极性．在函数建模的教学过程中，一方面要求学生注意熟悉相关的实际背景，另一方面要求学生注意总结整理常用的函数模型．同时，不能忽视归纳思想的应用，通过从具体到一般，发现函数的变化规律是建立数学模型的一种有效方法．必要情况下，对学生生疏的实际背景，应当予以补充．教学中应当注意，提供的问题要由浅入深，大的题目要让学生学会化整为零，分步骤、有层次的完成，要求学生掌握计算器的使用．多项式模型和拉格朗日插值法设通过n次检测，得到一系列的数据资料．i123…nxix1x2x3…xnyiy1y2y3…yn其中i表示检测序号，xi为变量x在第i次检测中的数值，yi则为变量y相应的数值．根据这些数据如何建立一种最佳的形式表达变量x和y的函数关系呢？一般说来，根据n对数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）可以确定一个（n－1）次多项式模型：y＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋an－1xn－1．以某地在1890～1990年100年间人口资料为例．以20年作为一个单位，x表示从1890年以来的单位数，该地的人口数P（x）可以假设为一个4次多项式：P（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4．将数据代入，得到一个五元一次方程组．通过计算，得到P（x）的具体表达式用心爱心专心116号编辑其图形如下图所示．借助这一多项式模型，我们可以近似地了解1890年到1970年该地人口数的变化情况．拉格朗日插值法使我们可以更为迅速地建立P（x）的多项式表达式．为简捷起见，仍以这一问题为例加以说明．这一问题中给出了5对数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），其中yi即P（xi）（i＝1，2，…，5）．拉格朗日插值法告诉我们根据这5对数据所建立的多项式函数y＝P（x）的具体表达式为其理由是显然的．右端的第一项中的分式在x＝x2、x3、x4、x5时均为零，而在x＝x1时恰好为1．右端的其他几项在x＝x1时都为零，这样就满足第1对数据（x1，y1）．同理，该多项式满足其他的4对数据．要确定直线方程式有两种方法：随手画法与最小平方法（亦称最小二乘法）1．随手画法如果认为一个接近于直线趋势的方程式符合观察值就能够采用随手画法，首先利用尺子根据资料画一直线，使资料点尽可能均匀分布在直线两侧，使两侧的点大体相等，如下图所示．在下图中，直线交y轴处为100万元，故由x＝0，y＝100知趋势直线y＝a＋bx中的a为100．可以看出是表现平均销售额的直线，从1985年的100万元增加到1994年的230万元，销售额在十年内增加了130万元，因此b为13．用心爱心专心116号编辑这里，趋势直线能够用来预测某一年的销售额，譬如说1998年（x＝14）的销售额可由方程求出，y＝100＋13×14＝282（万元）．但是，由于不同的人对同一资料可以画出不同的直线，从而也可能得出不同的方程式．譬如，某甲的方程可以是y*＝100＋13x；某乙的方程可以是y*＝105＋12x；某丙的方程可以是y*＝95＋14x（如上图）．由于其中包含个人的...
