函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。建立实际问题的函数模型是难点。教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：方案一：y＝40（x∈N＋）方案二：y＝10x（x∈N＋）方案三：y＝0.4×12x（x∈N＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。用心爱心专心1········xy02468101214012010080604020················y=40········y=10xy=0.4×2x-1再看累计回报数表P114。投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x2log＋1，y＝1.002x。其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。函数模型及其应用（2）用心爱心专心2教学目的：使学生进一步了解三种函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数的增长情况，通过函数图象对比它们的增长速度。教学重难点：观察指数函数、对数函数、幂函数模型的图象，对比它们的增长速度，了解它们的增长情况。教学过程一、复习提问指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？，哪个函数的增长速度最快？二、新课探究函数y＝x2，y＝2x，y＝x2log的增长速度。教学中，用电子表格Excel列出下列表格，并画出函数图象：x0.20.611.41.82.22.633.4y=2x1.1491.5162.0002.6393.4824.5956.0638.00010.556y=x20.0400.3601.0001.9603.2404.8406.7609.00011.560y=log2x-2.322-0.7370.0000.4850.8481.1381.3791.5851.766-4.000-2.0000.0002.0004.0006.0008.00010.00012.00014.00001234系列1系列2系列3y=2xy=x2y=log2x在区间（2,4），有x2log＜x2＜2x用心爱心专心3在区间（0,2）和（4，＋∞）有x2log＜2x＜x2可以在更大范围内观察函数y＝x2，y＝2x的图象的增长情况。一般地，对于指数函数y＝xa（a＞1）和幂函数y＝nx（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管x在一定范围内，xa会小于nx但由于xa的增长速度快于nx，因此总存在一个0x，当x＞0x时，就会有xa＞nx。同样地，对于对数函数y＝xalog（a＞1）和幂函数y＝nx（n＞0），在区间（0，＋∞）上，随着x的增大，xalog增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管x在一定范围内，xalog可能会大于nx，但由于xalog的增长慢于nx，因此总存在一个0x，当x＞0x时，就会有xalog＜nx。综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y＝xa（a＞1）、y＝xalog（a＞1）和y＝nx（n＞0）都是增函数。但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着x的增大，y＝xa（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝nx（n＞0）的增长速度，而y＝xalog（a＞1）的增长速度越来越慢。因此总存在一个0x，当x＞0x时，xalog＜nx＜xa。用心爱心专心4
