§3.3.2利用导数研究函数的极值(1)要点精讲1.感受与理解函数极值的概念，学会从几何直观理解函数的极植与其导数的关系，增强数形结合的思维意识.2.熟练掌握函数极值的求法．可导函数在极值的必要条件是，所以判断是否为极值点还要看该点左右的导数值是否异号．可导函数的最值可通过(a，b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|，在x=0处不可导，但它是最小值点．典型题解析【例1】求函数y=x3－x2－2x在闭区间[－1，1]上的最小值．【分析】先求出函数在（－1，1）上的极值，再与f(－1)，f(1)作比较，找出最小的一个便是．【解】对于y=x3－x2－2x来说，y′=x2－x－2=(x+1)(x－2)当x∈(－1，1)时，y′＜0，所以函数在区间[－1，1]上的减函数∴函数y在x=1处取得最小值，最小值为－【点评】函数f(x)在[a，b]上单调递增，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(a)及f(b)；如果f(x)在[a，b]上单调递减，则函数f(x)的最小值和最大值分别为f(b)及f(a)【例2】在处有极小值－1．(1)求常数的值；(2)求函数的单调区间．【分析】已知函数在处有极小值－1．转化为及从而求出常数的值.用求函数的单调区间的一般方法解决此类【解】要求函数的单调区间,先求常数的值,因为在处有极小值－1．故①,,②由①、②解得所以，,∴∴函数的单调增区间和，函数的单调减区间()【例3】已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【分析】求函数的单调区间的一般方法解决此类问题.【解】（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)＞0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．用心爱心专心116号编辑故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．【点评】函数求导的方法研究函数的单调性及最值问题近几年高考试题中屡屡出现,成为热门题型．要熟练掌握各种常见函数的求导方法及研究单调、最值的基本思路．【例4】设函数R．（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围．【分析】已知取得极值，所以求出常数a的值.若上为增函数,同时注意分类讨论的思想方法.【解】（Ⅰ）因取得极值，所以解得经检验知当为极值点．（Ⅱ）令当和上为增函数，故当上为增函数．当上为增函数，从而上也为增函数．综上所述，当上为增函数．规律总结1．求可导函数极值的步骤：（1）求导函数f’(x)；（2）求方程f’(x)=0的根；（3）检查f’(x)在方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求闭区间上函数最值的方法：比较极值与区间端点处函数值的大小．用心爱心专心116号编辑
