高中数学2.3数学归纳法BCA案学习目标:了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。B案:已知数列{}中,(n=1,2,…),(1)求;(2)试用归纳推理猜想数列{}的通项公式;(3)你能证明自己的上述猜想是正确的么?C案:一、研探新知:(一)多米诺骨牌游戏:请先观看多米诺骨牌游戏的相关视频,分析此游戏蕴含的原理,然后思考要保证这个游戏成功,必须满足什么条件?(二)比较B案问题中的猜想与多米诺骨牌游戏的相似性:多米诺骨牌游戏1.排在一条线上的许许多多骨牌。2.这些骨牌被推到。(三)利用相似性,规范步骤:多米诺骨牌游戏原理(1)第一块骨牌倒下2)若第k块倒下时,则相邻的第k+1块也倒下根据(1)和(2),可知不论有多少块骨牌都能全部倒下(四)提炼原理,得出概念:一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立。(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立。上述证明方法叫做数学归纳法(五)数学归纳法的框图表示:数学归纳法可用框图表示为:注意:两步一结论,缺一不可。二、自主合作探究问题1.用数学归纳法证明:问题2.用数学归纳法证明进行证明时采用了如下的方法:证明:假设当n=k时等式成立.即:2135(23)(21)1kkk则当n=k+1时,即:n=k+1时成立综合(1)和(2)等式对一切自然数n均成立请判断上述证明方法的正确与否。问题3.欲用数学归纳法证明,试问n的第一个取值应是多少?归纳基础归纳递推命题对所有的正整数n(n≥n0)都成立。问题4.如下证明方法是数学归纳法?为什么?求证1+3+5+…+(2n-1)=n2。证法1:(1)当n=1时,左边=1,右边=1等式成立。(2)假设当n=k时,等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2则当n=k+1时,代入1+3+5+…+(2n-1)=n2.得:所以当n=k+1时,等式成立。根据(1)和(2)可知,等式对任意n∈N*,等式成立。证法2:把上面证法1中的第(2)步第三行换为如下内容:其他内容同证法1.问题5.用数学归纳法证明时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为____。三、当堂检测1.用数学归纳法证明:第一步应验证左式是________,右式是_______;从k到k+1时,左表应添加的项为_______________.2.用数学归纳法证明:不等式时,第(1)步应验证n=_____.3.用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=四.小结:A案:1.课本P71练习1、2;(7分钟)2.课本P73习题2-3A组3;(8分钟)3.选作:试用数学归纳法证明本节当堂检测第2题中的不等式。