高中数学 第三章 导数应用 1 1.1 导数与函数的单调性教案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教案VIP免费

1．1导数与函数的单调性已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，(4)y4＝x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logx.问题1：求上面六个函数的导数．提示：(1)y1′＝2，(2)y2′＝－1，(3)y3′＝2xln2，(4)y4′＝xln＝－2xln2，(5)y5′＝，(6)y6′＝＝－.问题2：试判断所求导数的符号．提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．问题3：试判断上面六个函数的单调性．提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)为减少的．函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)＞0增加f′(x)＜0减少f′(x)＝0常数函数(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f′(x)＝0，而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)仍为增加的(或减少的)，例如函数y＝x3，x∈R，则f′(x)＝3x2，尽管当x＝0时，f′(x)＝0，但该函数y＝x3在R上仍为增加的．(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．判断或证明函数的单调性[例1]证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．[思路点拨]要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．[精解详析]由于f(x)＝，所以f′(x)＝＝，由于00，即函数在区间(0,2)上是增加的．[一点通]利用导数判断或证明函数单调性的思路1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是()A．y＝sinxB．y＝x·exC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选B(sinx)′＝cosx，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(lnx－x)′＝－1，当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0.2.证明函数f(x)＝x＋在(0,1]上是减少的．证明： f′(x)＝1－＝，又 x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有x＝1时等号成立)，∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上为减少的．3．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．解：由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当a<0时，若x∈，则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数．若x∈，则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数.求函数的单调区间[例2]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．[精解详析](1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，f′(x)＝－ax2＋2x，f′(x)>0⇔(－ax＋2)x>0⇔x>0⇔x>0或x<；f′(x)<0⇔0或f′(x)<0.但要特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式．4．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为________．解析：当－1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0，可得递增区间为[－1,0]和[2，＋∞)．答案：[－1,0]和[2，＋∞)5．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：选B函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得00，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x<0或x>2时，f′(x)<0，所以函数f(x)的单调递...