高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算（第二课时）导数的运算法则讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

第二课时导数的运算法则预习课本P83～85，思考并完成以下问题导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？导数的四则运算法则(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．(2)结论：①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．③′＝(g(x)≠0)．[点睛]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导．(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2()(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)()(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx()答案：(1)×(2)√(3)×2．函数y＝x4＋sinx的导数为()A．y′＝4x3B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinxD．y′＝4x3＋cosx答案：D3．函数y＝的导数是()A．－B.C.D.－答案：C4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.答案：1利用导数四则运算法则求导[典例]求下列函数的导数：(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝.[解](1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．(3)y′＝′＝＝＝－.求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．[活学活用]求下列函数的导数：(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝.解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx·lnx＋.(3)y′＝′＝＝＝.与切线有关的综合问题[典例](1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a＞0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________.(2)若曲线y＝xlnx上在点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．[解析](1)由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上知即解得b＝0，c＝1.(2)设P(x0，y0)， y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx.∴k＝1＋lnx0，又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e，∴点P的坐标是(e，e)．[答案](1)01(2)(e，e)[一题多变]1．[变结论]求本例(2)中的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离．解：点P处的切线与直线2x－y＋1＝0之间的距离即为点P到直线2x－y＋1＝0的距离，由典例(2)知P(e，e)，故所求的距离d＝＝.2．[变结论]试求本例(2)中过曲线上一点与直线y＝－x平行的切线方程．解：设切点为(x1，y1)，因为y′＝lnx＋1，所以切线的斜率为k＝lnx1＋1，又k＝－1，得x1＝，y1＝－，故所求的切线方程为y＋＝－，即e2x＋e2y＋1＝0.关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．层级一学业水平达标1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B.C．－1D．0解析：选A f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又 f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4解析：选Dy′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.3．若y＝x2·4x，则y′＝()A．x2·4x＋2xB．(2x＋x2)·4xC．(2x＋x2ln4)·4xD．(x＋x2)·4x解析：选Cy′＝(x2)′·4x＋x2(4x)′＝2x·4x＋x2·4xln4＝(2x＋x2ln4)·4x，故选C.4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5解析：选B因为点(1，－1)在曲线y＝x3－3...