第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．(1)xypr2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．(1)ypprxprx3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式表示．1xyNp【精典范例】例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是OT,经过一定时间t后的温度是T,则1()()2thaoaTTTT,其中aT表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88c热水冲的速容咖啡,放在24c的房间中,如果咖啡降到40c需要20min,那么降温到35c时,需要多长时间?【解】由题意知20140248824()2h,即2011()42h,解之,得10h,故10124(8824)()2tT,当35T时,代入上式,得1013524(8824)()2t,即10111()264t，两边取对数,用计算器求得25.4t因此,约需要25.4min,可降温到35c点评:本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2：现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg20.301）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，【解】1小时后，细胞总数为用心爱心专心1待定系数法服务函数模型（指、对数）实际问题（增长率）函数模型的结果听课随笔1131001002100222；2小时后，细胞总数为13139100100210022224；3小时后，细胞总数为191927100100210024248；4小时后，细胞总数为127127811001002100282816;可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：31002xy，xN由103100102x，得83102x，两边取以10为底的对数，得3lg82x，∴8lg3lg2x， 8845.45lg3lg20.4770.301，∴45.45x.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y与时间x之间的函数关系式；解类似xab这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.091.5386，461.091.4116,1.091.6771分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．【解】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是100(110%5)150万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86万元，因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．追踪训练一1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率．解：设该产品第一年的年产量为a，两年的平均增长率为x，则21121%144%axa解得1.32132%x2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人2005年3月1日在银行存入1...
