第二课时利用数学归纳法证明几何、整除等问题利用数学归纳法证明几何问题[例1]平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．[思路点拨]分清当n从k变到k＋1时，增加了几部分．[精解详析](1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，一个圆把平面分成两部分，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆与其他k个圆相交于2k个点．第k＋1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，即f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N*都成立．[一点通]用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．1．几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N*)．证明：(1)如图，n＝2时，两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f(2)＝4＝22.(2)假设n＝k时，f(k)＝k2成立，当n＝k＋1时，第k＋1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k＋1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧，另外原k个半圆把k＋1个半圆分成k＋1段，这样又多出了k＋1段圆弧．所以f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.由(1)，(2)可知命题得证．利用数学归纳法证明整除问题[例2]用数学归纳法证明f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数n，都能被17整除．[思路点拨]证明整除性问题的关键是在命题f(k＋1)中拼凑出f(k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了．[精解详析](1)当n＝1时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被17整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝3×52k＋1＋23k＋1能被17整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3×52k＋3＋23k＋4＝52×3×52k＋1＋23×23k＋1＝25×3×52k＋1＋8×23k＋1＝17×3×52k＋1＋8×(3×52k＋1＋23k＋1)＝17×3×52k＋1＋8×f(k)．由归纳假设，f(k)能被17整除，17×3×52k＋1也能被17整除，所以f(k＋1)能被17整除．由(1)和(2)可知，对任意n∈N*，f(n)都能被17整除．[一点通]证明整除性问题的关键是“凑项”，即f(k＋1)的式子中“凑”出f(k)的形式，常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f(k)．另一部分是一定能被题中的数(或式)整除的量．2．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．3．用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．证明：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)．∴n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．归纳——猜想——证明[例3]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；(2)证明你的猜想，并求出an的表达式．[思路点拨]→→[精解详析](1)...
