1.5.1二项式定理学习目标核心素养1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点)3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)1.借助二项式定理的证明，提升逻辑推理素养．2．通过一般性运算，发展数学运算素养.1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理．2．二项展开式的通项和二项式系数(1)(a＋b)n展开式共有n＋1项，其中Can－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr.(2)C(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．12B[(x＋1)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，所以n＝10.]2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是()A．－27CB．27CC．－9CD．9CD[含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.]3．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________．4010[(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为C22＝40，第3项的二项式系数为C＝10.]二项式定理的正用、逆用【例1】(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.[思路探究](1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解](1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．1．(1)求4的展开式；(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.[解](1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.二项式系数与项的系数问题【例2】(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数．[思路探究]利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．[解](1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)rC·26－r·xr，∴T6＝－12·x.∴第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.1．二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解]T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第k＋1项系数最大，则有∴5≤k≤6.∴k＝5或k＝6( k∈{0,1,2，…，8})．∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.求展开式中的特定项[探究问题]1．如何求4展开式中的常数项．[提示]利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？[提示](a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？[提示](2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相...
