第1章[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积【例1】(1)如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形EFGH是梯形．(2)已知正四面体OABC的棱长为1，如图．求：①OA·OB；②(OA＋OB)·(CA＋CB)；③|OA＋OB＋OC|.[思路探究](1)利用向量共线定理证明．(2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解](1)证明： E，H分别是边AB，AD的中点，∴AE＝AB，AH＝AD.则EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD. FG＝CG－CF＝CD－CB＝(CD－CB)＝BD，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．(2)在正四面体OABC中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.〈OA，OB〉＝〈OA，OC〉＝〈OB，OC〉＝60°.①OA·OB＝|OA||OB|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.②(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝OA2＋2OA·OB－2OA·OC＋OB2－2OB·OC＝12＋2×1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA＋OB＋OC|＝＝＝.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影＝|a|·cosθ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCDA′B′C′D′是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，则α＋β＋γ＝________.[连接BD，则M为BD的中点，MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝(DA＋AB)＋(BC＋CC′)＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA′)＝AB＋AD＋AA′.∴α＝，β＝，γ＝.∴α＋β＋γ＝.]空间向量基本定理【例2】(1)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为()A．0B．C．9D．(2)如图，已知空间四边形OABC，对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，用基底向量OA，OB，OC表示向量OG.(1)D[ a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，∴a与b不平行，且a，b，c三个向量共面，∴存在实数X，Y，使得c＝Xa＋Yb，即解得λ＝.](2)[解]OG＝OM＋MG＝OM＋MN＝OA＋(ON－OM)＝OA＋＝OA＋(OB＋OC)－OA＝OA＋OB＋OC.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．[解](1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.(2) (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，∴|a＋b＋c|＝，∴|MN|＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.空间向量的坐标表示【例3】(1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．(2)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．①当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；②当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．[思路探究](1)利用|a|＝构建函数关系，再利用二次函数求最小值；(2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解．(1)[由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．∴|b－a|＝＝＝.∴当t＝时，|b－a|的最小值为.](2)[解]① a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，...
