1.3.1利用导数判断函数的单调性学习目标核心素养1．理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升学生的数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则()A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的正负不确定[解析]由图象可知，函数f(x)在(1,5)上单调递减，则在(1,5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.[答案]B3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．[解析] f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．[答案](1，＋∞)单调性与导数的关系【例1】(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，给出以下说法：①函数y＝f(x)的定义域是[－1,5]；②函数y＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]；③函数y＝f(x)在定义域内是增函数；④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0.其中正确的序号是()A．①②B．①③C．②③D．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()[思路探究]研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．[解析](1)由图象可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.[答案](1)A(2)D1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()ABCD[解析](1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．[答案](1)D(2)A利用导数求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝x＋(a≠0)的单调区间．[思路探究]求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解]f(x)＝x＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－.当a>0时，令f′(x)＝1－>0，解得x>或x<－；令f′(x)＝1－<0，解得－0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝ex－ex，x∈R的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(...
