高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学教案VIP免费

1.2.3导数的四则运算法则学习目标核心素养1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1．通过学习导数的四则运算法则，培养学生的数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、导数的运算法则1．和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．2．积的导数(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)．3．商的导数＝，g(x)≠0.二、复合函数的概念及求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝·，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)已知函数y＝2sinx－cosx，则y′＝2cosx＋sinx．()(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1．()[解析](1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋c.(2)由y＝2sinx－cosx，则y′＝(2sinx)′－(cosx)′＝2cosx＋sinx.(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.[答案](1)×(2)√(3)×2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝()A．ex(x＋1)B．1＋exC．x(1＋ex)D．ex(x－1)[解析]f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.[答案]A3．函数f(x)＝sin(－x)的导函数f′(x)＝________.[解析]f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′＝－cosx.[答案]－cosx导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝；(4)y＝x2－sincos.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝.(4) y＝x2－sincos＝x2－sinx，∴y′＝2x－cosx.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．1．(1)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2](2)已知f(x)＝，若f′(x0)＋f(x0)＝0，则x0的值为________．[解析](1)f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin， θ∈，∴sin∈，∴2sin∈[，2]．(2) f′(x)＝＝(x≠0)．∴由f′(x0)＋f(x0)＝0，得＋＝0，解得x0＝.[答案](1)D(2)复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[思路探究]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1．(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤2．求下列函数的导数．(1)y＝；(2)y＝log2(2x2－1)．[解](1)y＝＝＝＝1＋.设y＝1＋，u＝1－x，则y′＝yu′·ux′＝(1＋)′·(1－x)′＝·(－1)＝－.(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，则y′＝y′u·ux′＝·4x＝.导数法则的综合应用[探究问题]试说明复合函数y＝(3x＋2)2的导函数是如何得出的？提示：函数y＝(3x＋2)2可看作函数y＝u2和u＝3x＋2的复合函数，∴yx′＝yu′·ux...