高中数学 4.1《数学归纳法》教案 新人教版选修4-5VIP专享VIP免费

第一课时4.1数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1.分析：多米诺骨牌游戏.成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.练习：已知*()13521,fnnnN，猜想()fn的表达式，并给出证明？过程：试值(1)1f，(2)4f，…，→猜想2()fnn→用数学归纳法证明.3.练习：是否存在常数a、b、c使得等式132435......(2)nn21()6nanbnc对一切自然数n都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1.教学数学归纳法的应用：①出示例1：求证*111111111,234212122nNnnnnn分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设n=k的式子上，如何同补？小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.②出示例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除.分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y－x).③出示例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.2.练习：①求证:11(11)(1)(1)21321nn（n∈N*）.②用数学归纳法证明：（Ⅰ）2274297nn能被264整除；（Ⅱ）121(1)nnaa能被21aa整除（其中n，a为正整数）③是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3.小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习：1.练习：教材501、2、5题2.作业：教材503、4、6题.第二课时4.2数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：用心爱心专心1.求证：222*12(1),1335(21)(21)2(21)nnnnNnnn.2.求证：*11111,23421nnnN.二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：比较2n与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值1,2,3,4,5,6n→猜想结论→用数学归纳法证明→要点：222222(1)2123kkkkkkkkkk….小结：试值→猜想→证明②练习：已知数列na的各项为正数，Sn为前n项和，且11()2nnnSaa，归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点：试值n=1,2,3,4，→猜想an→数学归纳法证明③出示例2：证明不等式|sin||sin|()nnnN.要点：|sin(1)||sincoscossin||sincos||cossin|kkkkk|sin||sin||sin||sin|(1)|sin|kkk④出示例3：证明贝努利不等式.(1)1(1,0,,1)nxnxxxnNn2.练习：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=qb...