第一课时4.1数学归纳法教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点:数学归纳法中递推思想的理解.教学过程:一、复习准备:1.分析:多米诺骨牌游戏.成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.回顾:数学归纳法两大步:(i)归纳奠基:证明当n取第一个值n0时命题成立;(ii)归纳递推:假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.练习:已知*()13521,fnnnN,猜想()fn的表达式,并给出证明?过程:试值(1)1f,(2)4f,…,→猜想2()fnn→用数学归纳法证明.3.练习:是否存在常数a、b、c使得等式132435......(2)nn21()6nanbnc对一切自然数n都成立,试证明你的结论.二、讲授新课:1.教学数学归纳法的应用:①出示例1:求证*111111111,234212122nNnnnnn分析:第1步如何写?n=k的假设如何写?待证的目标式是什么?如何从假设出发?关键:在假设n=k的式子上,如何同补?小结:证n=k+1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形.②出示例2:求证:n为奇数时,xn+yn能被x+y整除.分析要点:(凑配)xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk-x2·yk=x2(xk+yk)+yk(y2-x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y-x).③出示例3:平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分.分析要点:n=k+1时,在k+1个圆中任取一个圆C,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆C与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆C分成2k段弧,每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了2k个平面部分.因此,f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.2.练习:①求证:11(11)(1)(1)21321nn(n∈N*).②用数学归纳法证明:(Ⅰ)2274297nn能被264整除;(Ⅱ)121(1)nnaa能被21aa整除(其中n,a为正整数)③是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.3.小结:两个步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n=k到n=k+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习:1.练习:教材501、2、5题2.作业:教材503、4、6题.第二课时4.2数学归纳法教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点:理解经典不等式的证明思路.教学过程:一、复习准备:用心爱心专心1.求证:222*12(1),1335(21)(21)2(21)nnnnNnnn.2.求证:*11111,23421nnnN.二、讲授新课:1.教学例题:①出示例1:比较2n与2n的大小,试证明你的结论.分析:试值1,2,3,4,5,6n→猜想结论→用数学归纳法证明→要点:222222(1)2123kkkkkkkkkk….小结:试值→猜想→证明②练习:已知数列na的各项为正数,Sn为前n项和,且11()2nnnSaa,归纳出an的公式并证明你的结论.解题要点:试值n=1,2,3,4,→猜想an→数学归纳法证明③出示例2:证明不等式|sin||sin|()nnnN.要点:|sin(1)||sincoscossin||sincos||cossin|kkkkk|sin||sin||sin||sin|(1)|sin|kkk④出示例3:证明贝努利不等式.(1)1(1,0,,1)nxnxxxnNn2.练习:试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有an+cn>2bn.解答要点:当a、b、c为等比数列时,设a=qb...