高中新课标数学选修(2-2)3.1~3.2教材解读一、数系的扩充和复数的概念1.复数的引入:回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面:一方面数学本身发展的需要;另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者.我们知道,方程210x在实数范围内无解,于是需引入新数i使方程有解,显然,需要21i.数系的扩充过程:自然数集N�引入负数整数集Z�引入分数有理数集Q�引入无理数实数集R�引入虚数复数集C.2.复数的代数形式:由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算,于是得到:形如()abiabR,的数叫做复数,并且把()zabiabR,的这一表现形式叫做复数的代数形式,其中的a叫做复数的实部,b叫复数的虚部.注意复数132i的虚部是3,而不是3i.3.复数相等的充要条件abicdiac且()bdabcdR,,,注意事项:(1)复数abi(0)(0)(0)(0)abbiaabibabia实数纯虚数虚数非纯虚数(2)复数集CRR实数集虚数集(3)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,则不能比较大小.二、复数的几何意义1.复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示,于是:复数集abiabCR,|与坐标系中的点集()|ababR,,,可以建立一一对应.2.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(00),对应复数0.于是有下面的一一对应关系:复数Zabi复平面内的点()Zab,.3.由于平面向量与坐标平面的点一一对应,于是有:复数Zabi����一一对应平面向量OZ�.在这些意义下,我们就可以把复数zabi说成点Z或向量OZ�,这给研究复数运算的几何意义带来了方便.4.复数的模就是这个复数对应的向量的模,复数zabi的模为22zab.三、复数代数形式的四则运算用心爱心专心11.复数的加法、减法①运算法则()()()()abicdiacbdi.其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123zzzC,,,有:交换律:1221zzzz.结合律:123123()()zzzzzz.③复数加法的几何意义设1OZ�,2OZ�分别与复数abi,cdi对应,根据向量加法的平行四边形(三角形)法则,则有12OZOZOZ�(如图1).由平面向量的坐标运算:12()OZOZacbd�,,即得OZ�与复数()()acbdi对应.可见,复数的加法可以按向量加法的法则进行.④复数减法的几何意义设1OZ�,2OZ�分别与复数abi,cdi对应(如图2),根据向量加法的三角形法则有:2211OZZZOZ�.于是:1221OZOZZZ�.由平面向量的坐标运算:12()OZOZacbd�,,即得21ZZ�与复数()()acbdi对应.于是得到向量的减法运算法则为:两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应.2.复数代数形式的乘法运算①运算法则:()()()()abicdiacbdadbci.两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只是把2i换为1,并且把实部与虚部分别合并即可.②运算律:交换律:1221zzzz··.结合律:123123()()zzzzzz····.分配律:1231213()zzzzzzz.③虚数i的乘方及其规律:1ii,21i,3ii,41i,5ii,61i,7ii,81i,用心爱心专心2.可见,41nii,421ni,43nii,41()ninN,即i具有周期性且最小正周期为4.④共轭复数abi与abi互为共轭复数,即当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.它的几何意义是:共轭的两个复数关于x轴对称.主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3.复数代数形式的除法运算运算法则:2222(0)abiacbdbcadicdicdicdcd.其实质是分母“实数化”,即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式.类似于以前所学的把分母“有理化”.用心爱心专心3