高中数学 3.2《复数的四则运算》教材解读教案 新人教A版选修2-2VIP专享VIP免费

高中新课标数学选修（2-2）3.1~3.2教材解读一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要21i．数系的扩充过程：自然数集N�引入负数整数集Z�引入分数有理数集Q�引入无理数实数集R�引入虚数复数集C．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()abiabR，的数叫做复数，并且把()zabiabR，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数132i的虚部是3，而不是3i．3．复数相等的充要条件abicdiac且()bdabcdR，，，注意事项：（1）复数abi(0)(0)(0)(0)abbiaabibabia实数纯虚数虚数非纯虚数（2）复数集CRR实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集abiabCR，|与坐标系中的点集()|ababR，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Zabi复平面内的点()Zab，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Zabi����一一对应平面向量OZ�．在这些意义下，我们就可以把复数zabi说成点Z或向量OZ�，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数zabi的模为22zab．三、复数代数形式的四则运算用心爱心专心11．复数的加法、减法①运算法则()()()()abicdiacbdi．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123zzzC，，，有：交换律：1221zzzz．结合律：123123()()zzzzzz．③复数加法的几何意义设1OZ�，2OZ�分别与复数abi，cdi对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZOZOZ�（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZOZacbd�，，即得OZ�与复数()()acbdi对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ�，2OZ�分别与复数abi，cdi对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZZZOZ�．于是：1221OZOZZZ�．由平面向量的坐标运算：12()OZOZacbd�，，即得21ZZ�与复数()()acbdi对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()abicdiacbdadbci．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i换为1，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221zzzz··．结合律：123123()()zzzzzz····．分配律：1231213()zzzzzzz．③虚数i的乘方及其规律：1ii，21i，3ii，41i，5ii，61i，7ii，81i，用心爱心专心2．可见，41nii，421ni，43nii，41()ninN，即i具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数abi与abi互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)abiacbdbcadicdicdicdcd．其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．用心爱心专心3