3.1.5空间向量运算的坐标表示学习目标:1、掌握空间向量加减、数乘、数量积运算的坐标表示。2、会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直。3、掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式;并会应用这些知识解决简单的立体几何问题。学习重点:1、利用空间向量的坐标运算证明线线垂直或平行。2、利用空间向量的坐标运算求两点间的距离。学习难点:利用空间向量的坐标运算求两条异面直线所成的角。学习方法:类比法和启发探究学习过程:一、复习回顾平面向量坐标运算已知a=(1x,1y),b=(2x,2y),写出下列向量的坐标表示a+b=(1x+2x,1y+2y)a-b=(1x-2x,1y-2y)a=(1x,1y)ab=1212xxyya//b1221xyxy=0a⊥b1212xxyy=0设(,)xya,则222||axy或22||axy如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx,那么221212||()()axxyy(平面内两点间的距离公式)cos=||||abab222221212121yxyxyyxx(0)二、新授:我们知道,向量a在平面上可用有序实数对(x,y)表示,在空间则用心爱心专心可用有序实数组,,xyz表示。类似平面向量的坐标运算,我们可以得出空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示。空间向量的直角坐标运算:1.设a=123(,,)aaa,b=123(,,)bbb,则⑴a+b=112233(,,)ababab;⑵a-b=112233(,,)ababab;⑶λa=123(,,)aaa()R;⑷a·b=112233ababab.上述运算法则怎样证明呢?(将a=1ai+2aj+3ak和b=1bi+2bj+3bk代入即可)2.两个向量共线或垂直的判定:设a=123(,,)aaa,b=123(,,)bbb,则⑴a//ba=λb112233,,ababab,()R312123aaabbb;⑵a⊥ba·b=01122330ababab练习1:已知3,2,5,1,5,1ab,求:⑴a+b.⑵3a-b;⑶6a.;⑷a·b.练习2:已知2,1,3,4,2,abx,且ab,则x=.练习3:已知1,2,,,1,2aybx,且(2)//(2)abab��,则()A.1,13xyB.1,42xyC.12,4xyD.1,1xy3.向量的模:设a=123(,,)aaa,则|a|=222123aaa利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式:4.空间两点间的距离公式:在空间直角坐标系中,已知点111222(,,),(,,)AabcBabc,则A,B两点间的距离222212121()()()ABdABaabbcc�5、两个向量夹角公式cos,||||ababab112233222222123123abababaaabbb这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个公式,我们可以求出两个向量的夹角,并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系:当cos<a、b>=1时,a与b同向;当cos<a、b>=-1时,a与b反向;当cos<a、b>=0时,a⊥b.用心爱心专心练习:已知3,5,7,2,4,3AB,求,,ABBA�线段AB的中点坐标及线段AB的长度.三、典型例题例5.如图,在正方体1111ABCDABCD中,点11,EF分别是1111,ABCD的一个四等分点,求1BE与1DF所成的角的余弦值.分析:如何建系?→点的坐标?→如何用向量运算求夹角?解:设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系O-xyz,则13(1,1,0),1,,1,4BE11(0,0,0),0,1.4,DF1311,,1(1,1,0)0,,1,44�BE1110,1(0,0,0)0,1.44�,,DF1111150011,4416�BEDF111717||,||.44�BEDF111111151516cos,.17||||171744���BEDFBEDFBEDF因此1BE与1DF所成的角的余弦值是1517。例6如图,正方体1111ABCDABCD中,点E,F分别是111,BBDB的中点,求证:1EFDA.证明:如图,不妨设正方体的棱长为1,分别以DA�,DC�,1DD�为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,则111(1,1,),(,,1),222EF用心爱心专心所以111(,,).222EF�又1(1,0,1),(0,0,0),AD所以1(1,0,1).DA�所以...