2.3等差数列的前n项和(二)教学要求:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值.如果An,Bn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,则1212nnnnBAba.教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点:灵活应用求和公式解决问题.教学过程:一、复习准备:1、等差数列求和公式:2)(1nnaanS,dnnnaSn2)1(12、在等差数列{an}中(1)若a5=a,a10=b,求a15;(2)若a3+a8=m,求a5+a6;(3)若a5=6,a8=15,求a14;(4)若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.二、讲授新课:1、探究:等差数列的前n项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列na的前n项和为212nSnn,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?【结论】数列na的前n项和nS与na的关系:由nS的定义可知,当n=1时,1S=1a;当n≥2时,na=nS-1nS,即na=)2()1(11nSSnSnn.练习:已知数列na的前n项和212343nSnn,求该数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?探究:一般地,如果一个数列,na的前n项和为2nSpnqnr,其中p、q、r为常数,且0p,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?(是,1apqr,2dp).由此,等差数列的前n项和公式2)1(1dnnnaSn可化成式子:n)2da(n2dS12n,当d≠0,是一个常数项为零的二次式.2.教学等差数列前n项和的最值问题:①例题讲解:例2、数列na是等差数列,150,0.6ad.(1)从第几项开始有0na;(2)求此数列的前n项和的最大值.结论:等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)当na>0,d<0,前n项和有最大值可由na≥0,且1na≤0,求得n的值;用心爱心专心1当na<0,d>0,前n项和有最小值可由na≤0,且1na≥0,求得n的值.(2)由n)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时n的值.练习:在等差数列{na}中,4a=-15,公差d=3,求数列{na}的前n项和nS的最小值.例3、已知等差数列....,743,724,5的前n项的和为nS,求使得nS最大的序号n的值。归纳:(1)当等差数列{an}首项为正数,公差小于零时,它的前n项的和为nS有最大值,可以通过01nnaoa求得n(2)当等差数列{an}首项不大于零,公差大于零时,它的前n项的和为nS有最小值,可以通过01nnaoa求得n三、课堂小结:求"等差数列前n项和的最值问题"常用的方法有:(1)满足001nnaa且的n值;(2)由,)2(22)1(121ndanddnnnaSn利用二次函数的性质求n的值;(3)利用等差数列的性质求.四、课外作业:作业:《习案》作业十四。补充题:(依情况而定)1.(1)已知等差数列{an}的an=24-3n,则前多少项和最大?(2)已知等差数列{bn}的通项bn=2n-17,则前多少项和最小?解:(1)由an=24-3n知当8n时,0na,当9n时,0na,前8项或前7项的和取最大值.(2)由bn=2n-17n知当8n时,0na,当9n时,0na,前8项的和取最小值.2.数列{an}是首项为正数a1的等差数列,又S9=S17.问数列的前几项和最大?解:由S9=S17得9a5=17a9,用心爱心专心2..0,0,0.0,0,0252131413114131最大又所以相邻两项之和为Saaaaada说明:000014131711109171413aaaaaSSaa也可以这样得出.3.首项为正数的等差数列{an},它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大?解法一:由S3=S11得:,2101111223311dada解之得01321addnnnnaSn)1(1nana12113141311211349)7(131ana故当n=7时,Sn最大,即前7项之和最大.解法二:由0)213(1310)215(131)1(11111nandaanadnaann解得:215213n,所以n=7,即前7项之和最大.解法三:由01321ad知:{an}是递减的等差数列.又S3=S11,00871110987654aaaaaaaaaa必有0,087aa,前7项之和最大.4.已知等差数列{an},满足an=40-4n,求前多少项的和最大?最大值是多少?解法一:...