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高中数学 2.1.4余弦定理(二)教案 北师大版必修5VIP免费

高中数学 2.1.4余弦定理(二)教案 北师大版必修5_第1页
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2.1.4余弦定理(二)知识梳理1.余弦定理:(1)形式一:Acosbc2cba222,Bcosac2cab222,Ccosab2bac222形式二:bc2acbAcos222,ac2bcaBcos222,ab2cbaCcos222,(角到边的转换)2.解决以下两类问题:1)、已知三边,求三个角;(唯一解)2)、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解)3.三角形ABC中222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形典例剖析题型一:利用余弦定理解三角形例1在ABC中,已知3sin5A,sincos0AA,35a,5b,求c.解 sincos0AA且3sin5A,∴A为钝角,24cos1sin5AA,由余弦定理知2222cosabcbcA,∴2224(35)525()5cc即28200cc,解得2c或10c(舍去)∴2c.评述已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键,同时还要注意方程思想的运用。题型二:判断三角形的形状例2在ABC中,若2222sinsin2coscosbCcBbcBC,试判断ABC的形状.解:方法一:由正弦定理和已知条件得:2222sinsinsinsin2sinsincoscosBCCBBCBC, sinsin0BC,∴sinsincoscosBCBC,即cos()0BC, B、C为ABC的内角,∴90BC,90A故ABC为直角三角形.方法二:原等式变形为:2222(1cos)(1cos)2coscosbCcBbcBC,即:222222coscos2coscosbcbCcBbcBC,由余弦定理得:1222222222222222222()()22222abcacbacbabcbcbcbcabacacab2222222222[()()]4abcacbbca222bca故ABC为直角三角形.评述:判断三角形的形状,一般是从题设条件出发,根据正弦定理、余弦定理进行边角变换,全化为边的关系或全化为角的关系,导出边或角的某种特殊关系,然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题:余弦定理的应用例3:已知A、B、C是△ABC的三个内角,且满足(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB求证:A+B=120°证明:由(sinA+sinB)2-sin2C=3sinA·sinB可得sin2A+sin2B-sin2C=sinA·sinB又 sinA=,sinB=,sinC=,∴+-=·整理得a2+b2-c2=ab∴cosC==又0°<C<180°,∴C=60°∴A+B=180°-C=120°评述:(1)有关三角形内角的证明,选择余弦值与正弦值相比较,要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时,应先确定角的范围;(2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,这一转化技巧,要求熟练掌握.(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinB·cosA=sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA=cotB,再由0<A,B<π,而得A=B.点击双基1.在在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=13,则AC边上的高为()A.223B.233C.23D,33解:由余弦定理知:cosA=ABACBCABAC2222=34213916=21,A=3AC边上的高为ABsinA=233答案:B2.在在△ABC中,已知其面积S=41(a222cb),则角C的度数为()A.135B.45C.60D.1202解:S=41(a222cb),21absinC=41(a222cb)sinC=abcba2222即sinC=cosC,tanC=1C=45答案:C3.在△ABC中,若8,3,7cba,则其面积等于()A.12B.221C.28D.36解:011cos,60,sin6322ABCAASbcA答案:D4..已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x,则x的取值范围是.解:在锐角三角形中,2222223232xx135x答案:135x5.在△ABC中,若)())((cbbcaca,则A解:22222201,,cos,1202acbbcbcabcAA答案:120课后作业1若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段能组成()三角形。A.锐角B.钝角C.直角D.等腰解:长为7的边所对角最大,设它为,则051652493625cos答案:A2.△ABC中,若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2则∠C的度数()A、600B、450或1350C、1200D、300解:...

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