高中数学 2.1.4余弦定理（二）教案 北师大版必修5VIP专享VIP免费

2.1.4余弦定理（二）知识梳理1．余弦定理：(1)形式一：Acosbc2cba222，Bcosac2cab222，Ccosab2bac222形式二：bc2acbAcos222，ac2bcaBcos222，ab2cbaCcos222，（角到边的转换）2.解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）3.三角形ABC中222222222是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形是锐角abcAabcAabcAABC是锐角三角形典例剖析题型一：利用余弦定理解三角形例1在ABC中，已知3sin5A，sincos0AA，35a，5b，求c.解 sincos0AA且3sin5A，∴A为钝角，24cos1sin5AA，由余弦定理知2222cosabcbcA，∴2224(35)525()5cc即28200cc，解得2c或10c（舍去）∴2c.评述已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。题型二：判断三角形的形状例2在ABC中，若2222sinsin2coscosbCcBbcBC，试判断ABC的形状.解：方法一：由正弦定理和已知条件得：2222sinsinsinsin2sinsincoscosBCCBBCBC， sinsin0BC，∴sinsincoscosBCBC，即cos()0BC， B、C为ABC的内角，∴90BC，90A故ABC为直角三角形.方法二：原等式变形为：2222(1cos)(1cos)2coscosbCcBbcBC，即：222222coscos2coscosbcbCcBbcBC，由余弦定理得：1222222222222222222()()22222abcacbacbabcbcbcbcabacacab2222222222[()()]4abcacbbca222bca故ABC为直角三角形.评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。备选题：余弦定理的应用例3：已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求证：A＋B＝120°证明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB又 sinA＝，sinB＝，sinC＝，∴＋－＝·整理得a2＋b2－c2＝ab∴cosC＝＝又0°＜C＜180°，∴C＝60°∴A＋B＝180°－C＝120°评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，要求熟练掌握.（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB两端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.点击双基1.在在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=13,则AC边上的高为（）A.223B.233C.23D,33解：由余弦定理知：cosA=ABACBCABAC2222=34213916=21,A=3AC边上的高为ABsinA=233答案：B2.在在△ABC中,已知其面积S=41（a222cb）,则角C的度数为（）A.135B.45C.60D.1202解：S=41（a222cb），21absinC=41（a222cb）sinC=abcba2222即sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3．在△ABC中，若8,3,7cba，则其面积等于（）A．12B．221C．28D．36解：011cos,60,sin6322ABCAASbcA答案：D4..已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x，则x的取值范围是．解：在锐角三角形中，2222223232xx135x答案：135x5．在△ABC中，若)())((cbbcaca，则A解：22222201,,cos,1202acbbcbcabcAA答案：120课后作业1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（）三角形。A.锐角B.钝角C.直角D.等腰解：长为7的边所对角最大，设它为，则051652493625cos答案：A2.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2则∠C的度数（）A、600B、450或1350C、1200D、300解：...