高中数学 1.4位似变换与伸缩变换教案 湘教版选修4－2VIP免费

§1.4位似变换与伸缩变换教学目标:一、知识与技能：理解位似变换和伸缩变换的定义及其几何意义；能用矩阵表示位似变换和伸缩变换，能把简单图形进行位似变换或伸缩变换。二、方法与过程通过对例题的探究，发现位似变换和伸缩变换的矩阵形式，寻求伸缩变换的逆变换和矩阵形式。三、情感、态度与价值观体会从具体到抽象、从感性上升到理性的循序渐进的过程；进一步培养学生积极参与、主动探索的良好学习习惯和思维品质；感受数学的符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:位似变换和伸缩变换的矩阵表示和变换的运用教学难点：位似变换和伸缩变换的几何意义和关系教学过程一、新课引入如图1—8选取一个位似中心O和一个相似比k，对原来图形上每个点P，连接OP，将OP在原方向上伸长或缩短到P`，使OPkOP`，则P`就是P经过位似变换后变到的点。有时需要将平面上的图形放大或缩小，这可以采用位似变换来实现。二、讲解新课：例1如图1—9，设平面上建立了直角坐标系，以原点为中心作相似比为k（0k）的位似变换，将每个点P变到P`，使OPkOP`，。求点P（yx,）经过变换之后到达的点P`（``,yx）解：向量OP，`OP的坐标也就是点P，P`的坐标，分别为（yx,），（``,yx）。由OPkOP`知（``,yx）=k（yx,）=（kykx,）即kyykxx``从而变换可以表示为``yx＝kk00yx所以位似变换矩阵为kk00当k=1时，是恒等变换。例2由函数xysin的图象作出xysin2和xy2sin的图象。用心爱心专心1解将xysin上每一点的（yx,）的横坐标不变，纵坐标乘以，得到xysin2的图象，如图（1），也就是将图象在横向不变纵向拉伸到原来的2倍得到的。将xysin的图象上每一点（yx,）的纵坐标不变，横坐标乘21就得眼xy2sin的图象，如图（2），也就是将图象纵向不变横向压缩到原来的21得到的。例3如图，设平面上建立直角坐标系，变换T将平面上每一点（yx,）的横坐标不变，纵坐标乘2，变到点P`（yx2,）求变换矩阵解：设点P（yx,）变到P`（``,yx）则yyxx2``因此变换矩阵为2001例4例3所说的变换将以下图形变成什么图形？（1）:l直线0CByAx（2）C：圆122yx解：（1）从例外的变换表达式中解出`21`yyxx代入方程0CByAx得0`2`CyBAx因此，直线:l0CByAx变成直线0`2`CyBAx（2）由`21`yyxx代入方程122yx得14`)(`)(22yx图形是椭圆。椭圆的长半轴在y轴上，长度为，由原来的圆在y轴上的半径拉长到原来的2倍得到。短半轴在x轴上，长度为1，就是原来的圆在x轴上的半径。一般地，设正实数1k，则变换kyyxx``或yykxx``将图形在一条坐标轴的方向上拉伸（当1k）或压缩（当10k）到原来的k倍，而在另一条坐标轴的方向上不变。这样的变换称为伸缩变换。伸缩变换的矩阵为k001或100k变换可写为``yx＝k001yx或``yx＝100kyx例5设变换T的矩阵是k001，正实数1k。T的逆变换T1是什么？求出T1的矩阵。用心爱心专心2解：设变换T将P（yx,）变到P`（``,yx），则kyyxx```1`ykyxx逆变换T1将P`（``,yx）变到P（``1,ykx）仍是伸缩变换。逆变换T1的矩阵是k1001三、巩固练习：1、求椭圆方程1422yx经过矩阵210021变换后的曲线方程。2、在直角坐标系xOy内，将每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标保持不变。（1）试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的矩阵；（2）求点A（1，1）在该伸缩变换作用下的像A`。四、小结1、位似变换矩阵M=kk00（0k）其中k是相似比。2、伸缩变换分别沿x轴或y轴伸缩变换矩阵分别为A=100k，B=k001（0k且1k）3、伸缩变换存在逆变换，逆变换矩阵为A1=1001k，B1=k1001（0k且1k）4、若变换矩阵M=2100kk（0,21kk且21,kk不同时为了）这仍是一个伸缩变换。五、课后作业：第21页习题1，2教学反思：用心爱心专心3