§1.4位似变换与伸缩变换教学目标:一、知识与技能:理解位似变换和伸缩变换的定义及其几何意义;能用矩阵表示位似变换和伸缩变换,能把简单图形进行位似变换或伸缩变换。二、方法与过程通过对例题的探究,发现位似变换和伸缩变换的矩阵形式,寻求伸缩变换的逆变换和矩阵形式。三、情感、态度与价值观体会从具体到抽象、从感性上升到理性的循序渐进的过程;进一步培养学生积极参与、主动探索的良好学习习惯和思维品质;感受数学的符号美,领会数学公式的美学意义。教学重点:位似变换和伸缩变换的矩阵表示和变换的运用教学难点:位似变换和伸缩变换的几何意义和关系教学过程一、新课引入如图1—8选取一个位似中心O和一个相似比k,对原来图形上每个点P,连接OP,将OP在原方向上伸长或缩短到P`,使OPkOP`,则P`就是P经过位似变换后变到的点。有时需要将平面上的图形放大或缩小,这可以采用位似变换来实现。二、讲解新课:例1如图1—9,设平面上建立了直角坐标系,以原点为中心作相似比为k(0k)的位似变换,将每个点P变到P`,使OPkOP`,。求点P(yx,)经过变换之后到达的点P`(``,yx)解:向量OP,`OP的坐标也就是点P,P`的坐标,分别为(yx,),(``,yx)。由OPkOP`知(``,yx)=k(yx,)=(kykx,)即kyykxx``从而变换可以表示为``yx=kk00yx所以位似变换矩阵为kk00当k=1时,是恒等变换。例2由函数xysin的图象作出xysin2和xy2sin的图象。用心爱心专心1解将xysin上每一点的(yx,)的横坐标不变,纵坐标乘以,得到xysin2的图象,如图(1),也就是将图象在横向不变纵向拉伸到原来的2倍得到的。将xysin的图象上每一点(yx,)的纵坐标不变,横坐标乘21就得眼xy2sin的图象,如图(2),也就是将图象纵向不变横向压缩到原来的21得到的。例3如图,设平面上建立直角坐标系,变换T将平面上每一点(yx,)的横坐标不变,纵坐标乘2,变到点P`(yx2,)求变换矩阵解:设点P(yx,)变到P`(``,yx)则yyxx2``因此变换矩阵为2001例4例3所说的变换将以下图形变成什么图形?(1):l直线0CByAx(2)C:圆122yx解:(1)从例外的变换表达式中解出`21`yyxx代入方程0CByAx得0`2`CyBAx因此,直线:l0CByAx变成直线0`2`CyBAx(2)由`21`yyxx代入方程122yx得14`)(`)(22yx图形是椭圆。椭圆的长半轴在y轴上,长度为,由原来的圆在y轴上的半径拉长到原来的2倍得到。短半轴在x轴上,长度为1,就是原来的圆在x轴上的半径。一般地,设正实数1k,则变换kyyxx``或yykxx``将图形在一条坐标轴的方向上拉伸(当1k)或压缩(当10k)到原来的k倍,而在另一条坐标轴的方向上不变。这样的变换称为伸缩变换。伸缩变换的矩阵为k001或100k变换可写为``yx=k001yx或``yx=100kyx例5设变换T的矩阵是k001,正实数1k。T的逆变换T1是什么?求出T1的矩阵。用心爱心专心2解:设变换T将P(yx,)变到P`(``,yx),则kyyxx```1`ykyxx逆变换T1将P`(``,yx)变到P(``1,ykx)仍是伸缩变换。逆变换T1的矩阵是k1001三、巩固练习:1、求椭圆方程1422yx经过矩阵210021变换后的曲线方程。2、在直角坐标系xOy内,将每一点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变。(1)试确定该伸缩变换的坐标变换公式及其对应的矩阵;(2)求点A(1,1)在该伸缩变换作用下的像A`。四、小结1、位似变换矩阵M=kk00(0k)其中k是相似比。2、伸缩变换分别沿x轴或y轴伸缩变换矩阵分别为A=100k,B=k001(0k且1k)3、伸缩变换存在逆变换,逆变换矩阵为A1=1001k,B1=k1001(0k且1k)4、若变换矩阵M=2100kk(0,21kk且21,kk不同时为了)这仍是一个伸缩变换。五、课后作业:第21页习题1,2教学反思:用心爱心专心3