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从数学角度探析音乐的规律性——以巴赫作品为例VIP免费

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6—38数学教学2008年第6期从数学角度探析音乐的规律性一以巴赫作品为例200062华东师范大学数学系2007级硕士研究生袁有雯作曲家拉莫说:“音乐是一种必须掌握一定规律的科学,这些规律必须从明确的原则出发,而这个原则没有数学的帮助就不可能进行.”众所周知,数学与音乐之间最明显的联系就是用阿拉伯数字l、2、3、4、5、6、7表示音符..,.一2343do,re、m、ta、so、la、s;用一4、一4、一4、一8、丢等分数表示拍号.但是数学对音乐的影响远不止这些,可以说,数学创造了音乐.一、音符的选择人耳能听到的乐音音高是连续的,如果要将这些音全部演奏出来是不可能的,所以需要从其中选出一些离散的音符作为基础,以供人们对音乐进行乐曲创作和表演.我们发现,人们通过循环使用do、re、mi、fa、SO、la、si这七个音符来表示所有的音高,那么为什么选择它们而不是其它音符呢?它们又是如何确定的?它们之间的关系又如何?1.音域的周期性最早对乐音进行量化研究的是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯.他发现,拨琴弦所发出的声音与琴弦的长度有关,音高与弦长成反比.特别地,当这两根弦的长度是l:2时,它们所发出的声音是最和谐的.于是他就将这两个音之间的距离定为一个基本周期(即一个八度),只要在这个基本周期内选取一些适当的音符,就可以通过不断循环这个周期,将整个音域中的其它乐音表达出来.2.五度相生律毕达哥拉斯通过在一个基本周期内连续使用比例3:2来制定音级.他选取了频率分别为f、28f、鲁r、(姜)。r、(姜)3r、(姜)4r、(兰)r的音高在基本周期内对应的音符f、吾f、f、言f、2l2843f⋯⋯口do一、mi、fa、SO、la、si(记作C、D、E、F、G、A、B).这就是为什么基本音级的个数是7的原因了.这种生律法称为“五度相生律”,因为当频率比是3:2时这两个音符之间的距离是5个音级.之后,为了进一步优化音阶的高度差,人们又用相同的方法,将“五度相生律”循环l2次得到T12个音符f、r、r、r(≈面729r、兰r、r、r、f、pC、8C、D、E、F、8F、G、#G、A、#A、B.也就是现在钢琴键盘上的七个白键和五个黑键.“五度相生律”第一次用数学的语言使音乐体系规范化,建立起了系统的、逻辑的音乐理论基础.3.十二平均律因为音高和频率是正比的关系,所以两个音之间的“高度”差决定于它们的频率比,由“五度相生律”得到的l2个音级之间的“高度”差是不统一的,如c~c的频率比是,而E~F的频率比是丢.所以人们通过等距地平分一个基本周期来得到“高度”差统一的音级:构造一个正的等比数列{nn】.,n=0、l、2、⋯、l2,使得ao=l且a12=2.易知公比q=.这样,便得到了l2个等距的音级f、2壶f、2f、⋯、2茜f,它们的频率(近似值)分别是f、1.059f,1.122f、1.189f、1.260f,1.335f,1.414f,1.498f、1.587f、1.682f、1.782f、1.888f.这就是我们现在使用的l2个音符..用数学公式表示十二平均律乐音体系T即为T_-{c(n)In∈z].,其中维普资讯http://www.cqvip.com2008年第6期数学教学6—39f?,一0jc(n)={#c(礼一1),n>0,【bc(礼+1),礼<0.而c(n):c(礼)=c(礼):#c(礼)=2一击,且“a”表示频率为440Hz的乐音(标准音).十二平均律用精确的数学计算使每两个音阶之间的高度差都是定值,而且基本保留了五度相生律中3:2的五度特性(1.498)~A及4:3的四度特性(1.335).可以说,十二平均律是音乐史上的里程碑.二、和声的傅里叶分析19世纪,数学家傅里叶的研究将人们对音乐的物理本质的认知推向了最高点.我们从物理学中知道,一个音叉所发出的声音,其图象就是一个正弦函数,如:x(t1=0.001sin400~t.任何乐声的图象都是有规则的周期性图象,它有固定的频率和音高,听起来稳定而和谐.而傅里叶定理指出,任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式,例如任何一个周期函数.厂(t)都可以表示为y(t)=+∑(ncos礼+n=lbsinnx),即y(t)=∑Asin(nx+).其中频率最低的一项称为基本音,其余的称为泛音.由公式知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.所以,傅里叶的研究说明,任何乐声都是一些简单声音的复合!下面我们就傅里叶分析在和声中的应用来说明数学对和声的指导作...

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