6—38数学教学2008年第6期从数学角度探析音乐的规律性一以巴赫作品为例200062华东师范大学数学系2007级硕士研究生袁有雯作曲家拉莫说：“音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出发，而这个原则没有数学的帮助就不可能进行．”众所周知，数学与音乐之间最明显的联系就是用阿拉伯数字l、2、3、4、5、6、7表示音符．．，．一2343do,re、m、ta、so、la、s；用一4、一4、一4、一8、丢等分数表示拍号．但是数学对音乐的影响远不止这些，可以说，数学创造了音乐．一、音符的选择人耳能听到的乐音音高是连续的，如果要将这些音全部演奏出来是不可能的，所以需要从其中选出一些离散的音符作为基础，以供人们对音乐进行乐曲创作和表演．我们发现，人们通过循环使用do、re、mi、fa、SO、la、si这七个音符来表示所有的音高，那么为什么选择它们而不是其它音符呢?它们又是如何确定的?它们之间的关系又如何?1．音域的周期性最早对乐音进行量化研究的是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯．他发现，拨琴弦所发出的声音与琴弦的长度有关，音高与弦长成反比．特别地，当这两根弦的长度是l：2时，它们所发出的声音是最和谐的．于是他就将这两个音之间的距离定为一个基本周期(即一个八度)，只要在这个基本周期内选取一些适当的音符，就可以通过不断循环这个周期，将整个音域中的其它乐音表达出来．2．五度相生律毕达哥拉斯通过在一个基本周期内连续使用比例3：2来制定音级．他选取了频率分别为f、28f、鲁r、(姜)。r、(姜)3r、(姜)4r、(兰)r的音高在基本周期内对应的音符f、吾f、f、言f、2l2843f⋯⋯口do一、mi、fa、SO、la、si(记作C、D、E、F、G、A、B)．这就是为什么基本音级的个数是7的原因了．这种生律法称为“五度相生律”，因为当频率比是3：2时这两个音符之间的距离是5个音级．之后，为了进一步优化音阶的高度差，人们又用相同的方法，将“五度相生律”循环l2次得到T12个音符f、r、r、r(≈面729r、兰r、r、r、f、pC、8C、D、E、F、8F、G、#G、A、#A、B．也就是现在钢琴键盘上的七个白键和五个黑键．“五度相生律”第一次用数学的语言使音乐体系规范化，建立起了系统的、逻辑的音乐理论基础．3．十二平均律因为音高和频率是正比的关系，所以两个音之间的“高度”差决定于它们的频率比，由“五度相生律”得到的l2个音级之间的“高度”差是不统一的，如c～c的频率比是，而E～F的频率比是丢．所以人们通过等距地平分一个基本周期来得到“高度”差统一的音级：构造一个正的等比数列{nn】．，n=0、l、2、⋯、l2，使得ao=l且a12=2．易知公比q=．这样，便得到了l2个等距的音级f、2壶f、2f、⋯、2茜f，它们的频率(近似值)分别是f、1．059f,1．122f、1．189f、1．260f,1．335f,1．414f,1．498f、1．587f、1．682f、1．782f、1．888f．这就是我们现在使用的l2个音符．．用数学公式表示十二平均律乐音体系T即为T_-{c(n)In∈z]．，其中维普资讯http://www.cqvip.com2008年第6期数学教学6—39f?，一0jc(n)={#c(礼一1)，n>0，【bc(礼+1)，礼<0．而c(n)：c(礼)=c(礼)：#c(礼)=2一击，且“a”表示频率为440Hz的乐音(标准音)．十二平均律用精确的数学计算使每两个音阶之间的高度差都是定值，而且基本保留了五度相生律中3：2的五度特性(1．498)~A及4：3的四度特性(1．335)．可以说，十二平均律是音乐史上的里程碑．二、和声的傅里叶分析19世纪，数学家傅里叶的研究将人们对音乐的物理本质的认知推向了最高点．我们从物理学中知道，一个音叉所发出的声音，其图象就是一个正弦函数，如：x(t1=0．001sin400~t．任何乐声的图象都是有规则的周期性图象，它有固定的频率和音高，听起来稳定而和谐．而傅里叶定理指出，任何一个周期函数都可以表示为三角级数的形式，例如任何一个周期函数．厂(t)都可以表示为y(t)=+∑(ncos礼+n=lbsinnx)，即y(t)=∑Asin(nx+)．其中频率最低的一项称为基本音，其余的称为泛音．由公式知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．所以，傅里叶的研究说明，任何乐声都是一些简单声音的复合!下面我们就傅里叶分析在和声中的应用来说明数学对和声的指导作...
