第4讲-等差数列、等比数列与数列求和VIP免费

第4讲等差数列、等比数列与数列求和一、填空题1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又 a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.答案＋n2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为________．解析 an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.答案1203．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．解析 a5＝5，S5＝15，∴＝15，即a1＝1.∴d＝＝1，∴an＝n.∴＝＝－.设数列的前n项和为Tn.∴T100＝＋＋…＋＝1－＝.答案4．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝＝＝720.答案7205．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又 a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案(4n－1)6．定义运算：＝ad－bc，若数列{an}满足＝1且＝12(n∈N*)，则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________.解析由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案104n－27．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析 ＝q3＝－8，∴q＝－2.∴an＝·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.答案－22n－1－8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为________．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋d＝35＋6a1＋d，即a1＋8d＝7，所以S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.答案1199．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.解析设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2或d＝0(舍去)．所以an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410．数列{an}的通项公式an＝，如果bn＝，那么{bn}的前n项和为________．解析bn＝＝＝－，所以b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－＝－1.答案－1二、解答题11．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4(1－3n)．12．已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r，t∈N*，都有＝2.(1)判断{an}是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a1＝1，b1＝1，数列{bn}的第n项是数列{an}的第bn－1项(n≥2)，求bn；(3)求和Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.解(1){an}是等差数列．证明如下：因为a1＝S1≠0，令t＝1，r＝n，则由＝2，得＝n2，即Sn＝a1n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)a1，且n＝1时此式也成立，所以an＋1－an＝2a1(n∈N*)，即{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．(2)当a1＝1时，由(1)知an＝a1(2n－1)＝2n－1，依题意，当n≥2时，bn＝abn－1＝2bn－1－1，所以bn－1＝2(bn－1－1)，又b1－1＝2，所以{bn－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－1＝2·2n－1，即bn＝2n＋1.(3)因为anbn＝(2n－1)(2n＋1)＝(2n－1)·2n＋(2n－1)Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n]＋[1＋3＋…＋(2n－1)]，即Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－1)·2n]＋n2，①2Tn＝[1·22＋...