1/92.3.2圆的一般方程学习目标核心素养1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养．2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养．在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这就是本节课我们要探讨的问题．1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为－D2，－E2，半径长为12D2＋E2－4F．3．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＜0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点－D2，－E2D2＋E2－4F＞0表示以－D2，－E2为圆心，2/9以12D2＋E2－4F为半径的圆思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？[提示]圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？[提示]只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了．思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？[提示]不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程．()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化．()(3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为－a2，－a，半径为12－3a2－4a＋4的圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0．()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√[提示](1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．(3)错误．当a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2
D2＋E2－4F4，3/9即x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0．2．(教材P104练习A①改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)D[圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)．]3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝．4[以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16．即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4．]4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为．x2＋y2－3x－4y＝0[该圆的圆心为32，2，半径为52，故其标准方程为x－322＋(y－2)2＝254．化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0．]圆的一般方程的概念【例1】已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．[解](1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1，由r2＝－7t2＋6t＋1＞0得－17＜t＜1．4/9(2) r＝－7t2＋6t＋1＝－7t－372＋167， 37∈－17，1，∴当t＝37时，圆的面积最大，rmax＝477．所对应的圆的方程为x－2472＋y＋13492＝167．(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×4t2＋16t4＋9＜0，点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜34．形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：1由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆.2将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.[跟进训练]1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．...
