高等数学-概率3.1 数学期望VIP免费

第三章第一节数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.其中最常用的是期望和方差一、问题的引入下面是两名射手的成绩统计表，问：哪个射手的本领高？设想：每人都打了N枪。则总环数甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N总环数甲：8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N＝9.1N乙：8×0.3N＋9×0.4N＋10×0.3N＝9.0N平均每枪环数甲：9.1N/N＝9.1乙：9.0N/N＝9.0甲射手的水平较高。相当于8×0.4＋9×0.1＋10×0.5＝9.1相当于8×0.3＋9×0.4＋10×0.3＝9.0在这里，我们用了平均每枪环数这样一个指标来衡量甲、乙两个射手的水平，它是环数的以概率为权的加权平均，是“每枪环数”这个随机变量的重要特征，称为期望。二、随机变量的数学期望1、离散型r.v的数学期望定义1设离散型随机变量的概率分布为:若级数绝对收敛，则称此级数的和为r.v的数学期望，简称期望或均值。记为即,kkPxp1,2,k1kkkxpE1kkkExp例1、设r.v.服从0－1分布，求。E解：由题知的分布列为E011ppp例2、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润为零；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？解：设一周内所获利润为，首先求出的分布。10P的所有可能取值为10，5，0，－2，（单位：万元）05050.210.20.32768,CE100.3276850.409600.20485P14150.210.20.4096,C0P23250.210.20.2048,C2P10.327680.40960.20480.0579220.057925.20896一周内期望利润为5.20896万元。例3、设某射手每次击中目标的概率为p，他手中有10发子弹准备对一目标连续射击（每次打一发），一旦击中目标或子弹打完了就立刻转移到别的地方去，问他在转移前平均射击几次？解：射手在转移前的射击次数是随机变量首先求出的分布。Pk的所有可能取值为1，2…10。11,kpp1,2,k910P91011ppp91pPk11,kpp1,2,k910P91011pppE91911101kkkppp10111pp2、连续型r.v的数学期望定义2设连续型随机变量有概率密度，若积分绝对收敛，则称此积分的值为r.v的数学期望，记为fxxfxdxExfxdx例4、计算在区间[a,b]上服从均匀分布的r.v.的数学期望。解：由题知的概率密度为Exfxdx1baxdxba1,0,fxbaaxb其它故2ab例5、某种电子元件的使用寿命是一个r.v.其概率密度为Exfxdx0xxedx,0,xefx0x其它解：0xxde其中，求这种元件的平均使用寿命。>000xxxeedx010xe1指数分布随机变量的数学期望是随机变量按其取值概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置，是概率论发展早期就已产生的一个重要概念。三、随机变量函数的数学期望1、离散型r.v的函数的数学期望定义3设离散型随机变量的概率分布为:则的期望为,kkPxp1,2,kgEEg1kkkgxp如果已知r.v.的分布，需要计算的不是的期望，而是它的某个函数的期望，那么又应该如何计算呢？f2、连续型r.v的函数的数学期望定义4设连续型随机变量的概率密度为则它的函数的期望为fxgEEggxfxdx定义3和定义4表明...