1991l广义坐标下带待定乘子的APPell型方程组的协变性柯永权王智勇摘要导出广义坐标下带椅定乘子的任意阶非完整约束系统Appell型方程组的一种手价形式，论证这类AppeH型方程组及其等价形式时点变换的讳变性，并进而提出点履正则变换理论的建议。一、前童。变量集做怎样的改换时，基本方程的形式才能保持不变?”这一所谓协变性问题，是物理学各分支理论建设中所共同关心的问题，并且与所属分支的积分问题常有较紧密的联系。在力学的现代发展中，它，仍然是一个有待讨论的问题。近二三十年来，由于自动控制、宇宙航行等现代科技的发展需要，国际上出现了研究“非完整系统力学”的热潮。在梅风翔教授的倡导和带领下，十多年来，我国在这一新兴学科上也迎头赶上，并做出了多方面的贾献⋯：。其中就“基本方程”而言，不仅已放成功地归纳，分类和推广到任意阶非完整约束系统，并且协变性问题也已着手探讨：。本文拟对Appell体系中广义坐标下带待定乘子的Appe11型方程组进行这一讨论，其所得结果总结于定于l和2中{而做为这一Appetl型方程组的一种等价表述的(9)式，亦属本文首次给出。在定理2的启示下，本文还提出发展正则变换理论的建议。二、Apl~ell型方程组的一个等价形式。表述于广义坐标位形空间cq的任意阶非完整约束系统的Appe11型方程组，当采用1a一&range待定乘子时，可以写做_．”C_一2)=+G．+奎知{擘，s一】，2，⋯，，(1)ag．，。‘ag．这里f是系统的位形自由度，S(q，，，t)(k=I，2，⋯，f)是系统的加速度能量(即Appe1~函数)，[(G，，G，⋯，Gt]和[O-．O，⋯，Gr](T指转置)分别是非理想约束力和其它给定力所对应的广义力I而由式血=∑等，s=i，2一·，，(2)’ag所确定的[^，，．．_-^J]，乃是与m阶约束组·56·维普资讯http://www.cqvip.com^(n，，⋯，g·，z)=0，—l，2，⋯，(3)相联系的理想约束力所对应的广义力式(2)中的，即相应于第B个约束f8=0的Lagrange待定乘子。今将S(q，，，D散对。(k—l，2，⋯，f)的Leg~ntte变换，而引进新变量0一象l’2．．．．}，)和新函数K(q．，．“，)三茧一(5)于是有=芸，s=j，2’'I·，，(6)和s(口膏)=；．“一KfT)注意到箸繁㈣于是就可由(6)、(d)和(1)得到。=-一a啪K]=Q．++l。，，量一l，2，⋯，，(9)不同于方程组(6)，方程组(9)是方程组(1)结台Legendte变换而导出的动力学规律的又一表述}而方程组(6)纯系Legendre变换而来，并非动力学规律的表述。显然，由于Legen—dre变换的可逆性，方程组(9)与(1)是等价的。三、协变定理现就点变换范围内来考虑AppeI】型方程组(1)及其等价形式(9)的协变性问题．并“定理的形式给出答案。这里的“点变换”均指可逆变换。又+定理中同一文字，不带⋯‘时指位形空间0中表出的量，丽带””时，则指位形空阿c中表出的对应量。定理l：若与c为点变换一(·，)，=1，2，⋯，，(10)所联系，则在一切S和QGl、^。(s=】，2，⋯，f)下，与0中的方程组(1)相等价的，a中的方程组仍保持(1)的形式。证明：将式(1)两边乘以由(10)所得的舞}t井对s求和，碍喜．壹c-+山孑注意到寻一(II)(12)i_3)注①盏堕为保证诺(暑1．2．⋯．r)为独立变量．巳假定l蠢l≠o一从而-巧山(4)解出矗．f】并代^(5I褂到K(qt，．_t)一一而-一,~蛳so可蜘l!≠0．从也【“(6)解m(t．[)_t入()一逆转s(，．t)。维普资讯http://www.cqvip.comU致C与C中厂义力的变粳式L．；g~r·⋯·¨^一·¨。)则可由f1I)得到一口r。+。+。(j)ag式(17)与式(1)有完全相同的数学形式，并因变换(10)为可逆，而与式(】)相等价。又，以，lI推导井未涉及。中s、Q|、G．、的具体形式，于是定理完全得证。定理2：若cq与cql为满足条件@-_0H】⋯，，)的点变换(1O)所联系，则在一切Q．、G。、九和K下，与cq中的方程组(9)相等价的．C-}的方程组仍保持(9)的形式而为．一一÷一‘Ir．+．+1J。，=I，2，⋯，，(【9)一j一‘Ir．+．+1’’’’⋯’J这里@r一一警(10)1)证明：定理l对点变换jO)未加任何特殊要求，而条件(18)为(10)所相窖}因此条件(I8)T定理l依然成立。叉一中关于方程组(1)与(9)的等价性的论述．不曾对C提出}?殊要求．因此方程组(I9)的成立是显然的。而按(7)、(I3)和(IO)，当有∑蚶...
