曲线的凹凸性和拐点VIP免费

第四节曲线的凹凸性与拐点一曲线凹凸的定义二曲线凹凸的判定三曲线的拐点及其求法问题如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方xyo)(xfy1x2x221xx)2(21xxf2)()(21xfxf1x2xxyo)(xfy221xx)2(21xxf2)()(21xfxf一、曲线凹凸的定义;),()(,2)()()2(,,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxfxfxfxxfxxbabaxf定义内的图形是凸的。在那末称xfb,a如果恒有2)()()2(2121xfxfxxfxyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1上的图形是凸的。在则，上的图形是凹的在则内若在具有二阶导数内在上连续在如果],[)(,0)()2(],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(baxfxfbaxfxfbababaxf二、曲线凹凸的判定任取两点)(,2121xxxx证明:(1)分析：要证2)()()2(2121xfxfxxf即证0)]2()([)]2()([212211xxfxfxxfxf2)()2)(()2()(),2,(21121112112111xxfxxxfxxfxfxxx2)()2)(()2()(),,2(12221222122212xxfxxxfxxfxfxxx两式相加为：2)]()([)]2()([)]2()([1212212211xxffxxfxfxxfxf即证：)(0)()(2112ff事实上：),()()()()(211212fff同理可证明(2）而0)(f)(0)()(2112ff例1的凹凸性判断曲线3xy解：,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[点。是曲线由凸变凹的分界点)0,0(注意,1.定义注1拐点处有切线时，切线必在拐点处穿过曲线。点。的分界点叫做曲线的拐凹弧与凸弧的图形上凸弧与凹弧上连续，我们把在区间设函数)()()(xfyIxf三、曲线的拐点及其求法点的表示。来表示的，不同于极值拐点是用坐标))(,(00xfx注2定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf证：2.拐点的必要条件时，图形是凹弧，当即对分界点的不妨设它是凹弧与凸弧是拐点000),(.,,))(,(xxbaxxfx0)(0xf递增；所以)(xf时，图形是凸弧，当0xx递减。所以)(xf的极大值点。递减的分界点，也就是)(xf递增与是函数因此点)(0xfx由可导函数取得极值的条件，;))(,(,)()3(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx不是拐点。点不变号两近旁))(,(,)(000xfxxfx3.拐点的求法方法1);()1(xf求；点找出实根和二阶不可导令0,0)()2(xxf例2凹、凸的区间的拐点及求曲线14334xxy解：),(D,121223xxy)32(36xxy,0y令32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32(]32,0[),32[],0,(凸区间为凹区间为的拐点。曲线是那末而且的邻域内三阶可导，在设函数)())(,(,0)(,0)()(00000xfyxfxxfxfxxf的拐点内求曲线)]2,0([cossinxxy,sincosxxy,cossinxxyxxysincos,0y令47,4321xx得2)43(f,02)47(f0例3解：方法2内曲线有拐点为在]2,0[)0,47(),0,43())(,4.16141)())(,(,)(**000xfxxfyxfxxf点（页图见教材第的拐点。是连续曲线也可能点不存在若注意例4的拐点。求曲线3xy解：,0时当x,3132xy3594xy均不存在，是不可导点yyx,,0,0)0,(,y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0),0(,y内在上是凸的。曲线在),0[的拐点。是曲线点3)0,0(xy