理论力学习题2VIP专享VIP免费

2.1求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a，所对的圆心角为2，并证半圆片的质心离圆心的距离为。解：如图所示。以扇形薄片顶点为坐标原点，建立坐标轴ox，由对称性知，质心必在x轴上。34adrrddmcosrxdrdrdrrdcosrdmxdmxcaadrdrdcosdrr00222123123asina32sina对于半圆片234axc设均匀扁形薄片面密度为，则：2.3重W为的人，手里拿着一个重为w的物体，此人用与地平线成角的速度向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？解：如图所示，建立固定坐标系0v设人抛出物体后的速度为，物体抛出后相对于地面的速度为，方向如图所示，且：vavOxy0vvavuWwuvva人抛出物体前后水平方向无外力作用，动量守恒。则有：uvwWvcosvwW0xyogsinuvwWwtvx0所以人落地时跳的距离增加为：gvtsin0到达最高点时，则：0yvuwWwcosvvv0比不抛重物速度增加：uwWwcosvv0uvwWvcosvwW02.4质量为m1的质点，沿倾角为的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为m2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求：(a)质点水平方向的加速度；(b)劈的加速度；(c)劈对质点的反作用力R1；(d)水平面对劈的反作用力R2。解：取隔离体，受力分析如图所示。建立固定直角坐标系，动系1x2x22yxo11yxo质点m1的运动微分方程为：singmcosxmxm12111方向1xcosgmsinxmR12110方向：1y以上六式联立可解出：1x2x1R2R11RR211xcosxx方向：cosRgmR12202y方向：sinRxm1222x直角劈的运动微分方程为：2.5半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动，求绕此轴的动量矩。解：如图所示，将圆片分成许多小圆环，厚度为，薄圆片面密度:dr2aM半径为r的小圆环的质量：drrdm2O速度为：rv动量矩：dmdvrJ其大小：rdrrrrvdmdJ2整个圆片对轴的动量矩方向相同，则大小为：aMaadrrdJJ02432122ωrdra2.7质量为M，半径为a的光滑半球，其底面放在光滑的水平面上，有一质量为m的质点沿此半球面滑下，设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为，并且初始时此系统是静止的，求此质点滑到它与球心的连线和竖直向上直线间所成之角为时之值。解：如图所示，设质点相对半球的速度为（沿切线），半球相对地的速度为，方向水平向左，取地面为惯性参照系，水平方向合外力为零，动量守恒，有：vu只有保守力作功，机械能守恒。0Muucosvm（1）2222212121sinmvucosvmMucosmgacosmga（2）212cosmMmcoscosagav212cosmMmcoscosgav（1）（2）两式联立得：0Muucosvm（1）2222212121sinmvucosvmMucosmgacosmga（2）2.8一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰，如两者均为完全弹性体，且两球的质量相等，则两球碰后的速度互相垂直，试证明之。证明：由动量守恒得：由机械能守恒得：210vmvmvm(1)222120212121mvmvmv(2)整理得：222120vvv(4)210vvv(3)用分别点乘（3）式后相加得：210,,vvv21vv021vv由（4）式知：又证：由（3）得：212221221202)(vvvvvvv21vv021vv由（4）式知：212221202vvvvv222120vvv(4)210vvv(3)用分别点乘（3）式后相加得：210,,vvvmvVmvmVvVm222212121你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？答：此看法不对。题中在利用对固定点（岸）的动能定理时，没有考虑铁球抛出前后船和人的速度变化，从而未计入船和人的动能，造成错误，正确做法是：设船和人的质量为M，球的质量为m，以岸为参照系，设铁球...